GabaritoA — 8.
Gabarito: letra A (d = 8). Dados quatro números naturais a<b<c<d, os 6 pares possíveis geram somas distintas. As quatro menores somas (4, 8, 9, 10) permitem deduzir a=1, b=3, c=7 e, finalmente, d=8. A resolução envolve combinar as possibilidades e verificar a única ordenação compatível.
Os pares e suas somas (ordenados do menor para o maior) são:
a+b (menor)
a+c (segunda menor, a depender dos valores)
a+d ou b+c (terceira e quarta, dependendo da comparação)
b+d
c+d (maior)
Sabemos que a+b = 4. Como a<b, as únicas possibilidades são a=1 e b=3 (pois 2+2 teria a=b).
As próximas três somas (segunda, terceira e quarta menores) são 8, 9 e 10. Elas correspondem a a+c, a+d e b+c.
Escrevemos:
a+c = 1 + c
a+d = 1 + d
b+c = 3 + c
Esses três valores devem ser 8, 9 e 10 em alguma ordem. Testamos as possibilidades:
Se 1+c = 8 → c=7. Então b+c = 10. Resta a+d = 9 → d=8. Isso satisfaz c<d e as somas restantes (b+d=11, c+d=15) são maiores que 10. As quatro menores são 4,8,9,10. Funciona.
Se 1+c = 9 → c=8. Então b+c=11 (fora do conjunto {8,9,10}). Descartado.
Se 1+c = 10 → c=9. b+c=12. Descartado.
Se 1+d = 8 → d=7. Então c<7? Mas a+c e b+c devem ser 9 e 10. Tentando 1+c=9 → c=8 (c>d), impossível. 1+c=10 → c=9 (c>d). Descartado.
Se 1+d = 9 → d=8. Já coberto no caso 1 (d=8 com c=7).
Se 1+d = 10 → d=9. Então a+c e b+c devem ser 8 e 9. 1+c=8 → c=7, b+c=10 (não 9). 1+c=9 → c=8, b+c=11. Descartado.
Portanto, a única solução é a=1, b=3, c=7, d=8.
Caso | Atribuição (a,b,c,d) | Somas dos pares (a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d) | Menores somas (4,8,9,10) ok? | Resultado |
|---|---|---|---|---|
1 | a=1, b=3, c=7, d=8 | 4, 8, 9, 10, 11, 15 | Sim | Consistente |
2 | a=1, b=3, c=8, d=? | 1+c=9 → c=8, b+c=11 (fora do conjunto) | Não | Inviável |
3 | a=1, b=3, c=9, d=? | 1+c=10 → c=9, b+c=12 (fora do conjunto) | Não | Inviável |
4 | a=1, b=3, c=?, d=7 | 1+d=8 → d=7, c<7 impossível (c>d) | Não | Inviável |
5 | a=1, b=3, c=7, d=8 | (já coberto no caso 1) | Sim | Consistente |
6 | a=1, b=3, c=?, d=9 | 1+d=10 → d=9, 1+c=8 → c=7, b+c=10 (não 9) | Não | Inviável |
Corresponde ao valor de d encontrado (8). Confere todas as condições: a+b=4, a+c=8, a+d=9, b+c=10, b+d=11, c+d=15. As quatro menores são exatamente 4, 8, 9, 10.
Com a=1, b=3, c e d precisam ser >3 e c<d=5. Tentando c=4: somas: 1+3=4, 1+4=5, 1+5=6, 3+4=7, 3+5=8, 4+5=9. As quatro menores são 4,5,6,7, não 4,8,9,10. Não atende.
Com a=1,b=3, tentando c=4,d=6: somas 4,5,7,7? (a+d=7, b+c=7 repetido) — as somas não são todas distintas. Se c=5,d=6: a+b=4, a+c=6, a+d=7, b+c=8, b+d=9, c+d=11 — as quatro menores são 4,6,7,8, não 4,8,9,10. Incorreto.
Com a=1,b=3, se c=7,d=9: a+b=4, a+c=8, a+d=10, b+c=10 (repetido com a+d=10) — somas repetidas, viola a condição de serem todas distintas. Se c=8,d=9: a+b=4, a+c=9, a+d=10, b+c=11, b+d=12, c+d=17 — as quatro menores são 4,9,10,11, não 4,8,9,10. Incorreto.
Com a=1,b=3, se c<7, por exemplo c=4,d=7: somas 4,5,8,7,10,11 — ordem: 4,5,7,8? As quatro menores: 4,5,7,8. Não coincidem. Se c=5,d=7: 4,6,8,8? (a+d=8, b+c=8 repetido). Se c=6,d=7: 4,7,8,9,10,13 — quatro menores 4,7,8,9. Nenhum caso atende.
Ao resolver problemas com somas de pares, liste todas as combinações possíveis em ordem crescente. A menor soma é sempre a+b; a segunda menor é a+c, a menos que b+c seja menor que a+d (o que raramente ocorre quando os números são próximos). Nesta questão, a comparação entre a+d e b+c é o ponto crítico: como b=3, c>3, a+d = 1+d e b+c = 3+c. Para que b+c seja uma das quatro menores, ele deve ser menor que b+d e c+d, mas pode competir com a+d. A solução exige testar as poucas possibilidades.
Conclusão: O único valor de d que satisfaz todas as condições é 8, correspondente à alternativa A.
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