Matemática · FCC · 2023 | Questão sqc-fc070751

Sistema de equações: soma e produto de dois números

Gabarito: letra D (6). Os números são 2 e 4: a soma (6) é igual ao produto (8) menos 2, e a diferença entre eles é 2. A resolução usa um sistema de duas equações — uma para a soma/produto e outra para a diferença — que leva a uma equação do 2º grau.

Vamos montar o problema. Sejam $x$ e $y$ os dois números escolhidos, com $x > y$ . O enunciado dá duas informações:

A soma é igual ao produto menos 2: $x + y = xy - 2$
A diferença entre eles é 2: $x - y = 2$

Da segunda equação, tiramos $x = y + 2$ . Substituindo na primeira:

$(y + 2) + y = (y + 2) \cdot y - 2$

$2y + 2 = y^2 + 2y - 2$

Cancelando $2y$ dos dois lados:

$2 = y^2 - 2$

$y^2 = 4$

$y = 2$ (pois os números são positivos, do conjunto {1, 2, ..., 9})

Logo, $x = y + 2 = 4$ . A soma pedida é $x + y = 4 + 2 = 6$ .

A pegadinha clássica aqui é o candidato montar a equação da soma/produto de forma invertida (produto = soma − 2, em vez de soma = produto − 2) ou esquecer de verificar que os números encontrados pertencem ao conjunto dado. Vamos analisar cada alternativa.

Distribuição de alternativas — só Corretas: 0; só Incorretas: 4; Corretas∩Incorretas: 1

Alternativa A — ❌ Incorreta

Soma 4. Para soma 4 com diferença 2, os números seriam 1 e 3 (pois 1 + 3 = 4 e 3 − 1 = 2). Mas o produto 1 × 3 = 3, e a soma 4 não é igual a 3 − 2 = 1. Não satisfaz a condição da soma/produto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Soma 8. Para soma 8 com diferença 2, os números seriam 3 e 5 (3 + 5 = 8 e 5 − 3 = 2). O produto 3 × 5 = 15, e a soma 8 não é igual a 15 − 2 = 13. Não satisfaz.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Soma 14. Para soma 14 com diferença 2, os números seriam 6 e 8 (6 + 8 = 14 e 8 − 6 = 2). O produto 6 × 8 = 48, e a soma 14 não é igual a 48 − 2 = 46. Não satisfaz.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Soma 6. Os números são 2 e 4: soma 2 + 4 = 6, produto 2 × 4 = 8, e 6 = 8 − 2. A diferença 4 − 2 = 2. Todas as condições do enunciado são atendidas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Soma 10. Para soma 10 com diferença 2, os números seriam 4 e 6 (4 + 6 = 10 e 6 − 4 = 2). O produto 4 × 6 = 24, e a soma 10 não é igual a 24 − 2 = 22. Não satisfaz.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão da relação entre soma e produto. O candidato pode montar $xy = x + y - 2$ (produto = soma − 2) em vez do correto $x + y = xy - 2$ (soma = produto − 2). Com a equação invertida, os números seriam 1 e 3 (soma 4, produto 3), que é justamente a alternativa A. Fique atento à ordem da frase: "a soma é igual ao produto menos 2" significa soma = produto − 2.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas com duas incógnitas e duas relações, monte o sistema e substitua. Aqui, a diferença 2 permite escrever $x = y + 2$ e reduzir tudo a uma equação do 2º grau. Depois de achar os números, confira se eles pertencem ao conjunto do enunciado — isso elimina raízes negativas ou fracionárias.

Gabarito: letra D