Questão de Estatística — Inferência estatística — FCC 2024

Intervalo de Confiança para a Média com σ Conhecido

Gabarito: letra A. O novo intervalo é [164,08; 165,92]. Como o desvio-padrão populacional é conhecido (σ = 9 cm) e a amostra é grande (n = 64), o intervalo de confiança para a média é dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Ao quadruplicar o tamanho da amostra (n = 256), o erro padrão cai pela metade, pois $\sqrt{256} = 2 \cdot \sqrt{64}$, e o intervalo se estreita proporcionalmente, mantendo o mesmo nível de confiança.

O intervalo de confiança é uma ferramenta da inferência estatística que fornece uma faixa de valores plausíveis para um parâmetro populacional (no caso, a média μ das alturas), com um determinado nível de confiança. Quando o desvio-padrão populacional σ é conhecido, o intervalo é construído com base na distribuição normal, usando o erro padrão da média, que é $\sigma/\sqrt{n}$. A amplitude do intervalo é diretamente proporcional ao erro padrão: quanto maior a amostra, menor o erro padrão e, portanto, mais preciso (mais estreito) o intervalo.

A pegadinha clássica desta questão é o efeito do tamanho da amostra sobre a amplitude do intervalo. Muitos candidatos, ao verem que a amostra quadruplicou, podem pensar que o intervalo se torna quatro vezes mais estreito, mas a relação é com a raiz quadrada: como o erro padrão é inversamente proporcional a $\sqrt{n}$, quadruplicar n reduz o erro padrão à metade (fator $1/\sqrt{4} = 1/2$). Assim, a nova amplitude é a metade da amplitude original, e não um quarto.

Vamos aos cálculos:

1. Intervalo original: [163,16; 166,84] com n = 64.

   • Média amostral: $\bar{x} = \frac{163,16 + 166,84}{2} = 165,00$.

   • Amplitude: $166,84 - 163,16 = 3,68$.

   • Metade da amplitude (margem de erro): $E = \frac{3,68}{2} = 1,84$.

   • Erro padrão original: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{9}{\sqrt{64}} = \frac{9}{8} = 1,125$.

   • Valor crítico: $z_{\alpha/2} = \frac{E}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{1,84}{1,125} = 1,6355...$ (aproximadamente 1,64, correspondente a um nível de confiança de cerca de 90%).

1. Nova amostra: n = 4 × 64 = 256.

   • Novo erro padrão: $\sigma_{\bar{x}}' = \frac{9}{\sqrt{256}} = \frac{9}{16} = 0,5625$.

   • Nova margem de erro: $E' = z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\bar{x}}' = 1,6355... \times 0,5625 = 0,92$ (exatamente a metade de 1,84).

   • Novo intervalo: $165,00 \pm 0,92$ → [164,08; 165,92].

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo [164,08; 165,92] está centrado na mesma média amostral (165,00) e tem amplitude 1,84, exatamente a metade da amplitude original (3,68). Isso ocorre porque, ao quadruplicar o tamanho da amostra, o erro padrão cai pela metade, e a margem de erro também cai pela metade, mantendo o mesmo nível de confiança.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo [162,08; 165,92] tem limite inferior incorreto. Ele está centrado em 164,00, o que não corresponde à média amostral de 165,00. Além disso, a amplitude é 3,84, maior que a amplitude original, o que contraria o efeito esperado do aumento do tamanho da amostra (estreitamento do intervalo).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Este é o intervalo original [163,16; 166,84]. A banca tenta confundir o candidato que não percebe que o aumento do tamanho da amostra deve reduzir a amplitude do intervalo. Como a amostra quadruplicou, o intervalo não pode permanecer o mesmo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo [161,16; 168,84] tem amplitude 7,68, o dobro da amplitude original. Isso seria o efeito de dividir o tamanho da amostra por 4 (ou seja, n = 16), e não de multiplicá-lo por 4. A banca inverte o efeito do tamanho amostral.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo [164,84; 165,16] tem amplitude 0,32, muito menor que a metade da amplitude original (1,84). Isso corresponderia a um aumento de 16 vezes no tamanho da amostra (n = 1024), não de 4 vezes. O candidato que erra ao dividir a amplitude por 4 (em vez de por 2) cai nessa alternativa.

Gabarito: letra A