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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fc071026
Banca
FCC
Órgão
PIAUÍPREV
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista Previdenciário
Num evento beneficente, a comissão organizadora sugeriu aos participantes uma doação de R$ 300,00. Ao final, verificou-se que:- 10% dos participantes não fizeram doação;- 20% dos participantes optaram pelo valor integral sugerido pela comissão;- dentre os participantes restantes, metade doou um terço do valor sugerido e a outra metade doou dois terços do valor sugerido.O valor médio das doações arrecadadas pela comissão foi
  1. AR$ 180,00
  2. BR$ 130,00
  3. CR$ 165,00
  4. DR$ 142,00
  5. ER$ 150,00
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 165,00

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 165,00 (alternativa C).

A ideia por trás

A média ponderada é uma forma de calcular um valor médio quando diferentes grupos têm importâncias (pesos) diferentes. No mundo real, usamos isso para combinar valores que não ocorrem com a mesma frequência — por exemplo, a nota final de uma disciplina com provas de pesos diferentes. Aqui, cada valor de doação tem um peso igual à fração de participantes que o escolheu. A fórmula da média ponderada é: média = soma de (valor × peso) dividida pela soma dos pesos. Quando os pesos são porcentagens que somam 100%, a divisão é automática (por 1), então basta somar os produtos. Nesta questão, precisamos primeiro distribuir os participantes nas categorias de doação (incluindo os que não doaram, com valor zero) e depois aplicar a média ponderada.

O que a questão dá

  • valor sugerido = R$ 300,00

  • 10% não doaram

  • 20% doaram o valor integral

  • 70% restantes: metade doou 1/3, outra metade doou 2/3

O que queremos: o valor médio das doações arrecadadas

Passo 1 — Calcular a porcentagem dos que doaram parcialmente

Precisamos saber quantos participantes estão nas categorias de doação parcial (1/3 e 2/3). O enunciado diz que 10% não doaram e 20% doaram o valor integral, então o restante é o que sobrou. Isso é necessário para depois calcular a média ponderada.

Por que esta fórmula: A porcentagem restante é o total (100%) menos as porcentagens já conhecidas. Como as porcentagens representam partes de um todo, subtraímos para achar o que falta.

Prestante=100%−10%−20%P_{restante} = 100\% - 10\% - 20\%

De onde vem cada valor: 100%100\% = conceito: o total de participantes · 10%10\% = enunciado: 10% não doaram · 20%20\% = enunciado: 20% doaram o valor integral

Prestante=100%−10%−20%=70%=70 %P_{restante} = 100\% - 10\% - 20\% = 70\% = \boxed{70\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair os 10% que não doaram, achando que o restante é 80%.

Passo 2 — Dividir os 70% em duas metades iguais

O enunciado diz que, entre os participantes restantes, metade doou um terço e a outra metade doou dois terços. Precisamos saber qual porcentagem do total corresponde a cada metade, pois essas porcentagens serão os pesos na média ponderada.

Por que esta fórmula: Metade de uma porcentagem é dividir por 2. Como os 70% se dividem igualmente, cada metade é 35%.

Pmetade=Prestante2P_{metade} = \frac{P_{restante}}{2}

De onde vem cada valor: PrestanteP_{restante} = passo 1: 70%

Pmetade=70%2=35%P_{metade} = \frac{70\%}{2} = 35\%

PmetadeP_{metade} = 35% para cada metade

NÃO CAIA NESSA!

Dividir 70% por 2 e esquecer de considerar que são duas metades, ou usar 70% como peso para cada uma.

Passo 3 — Calcular os valores das doações parciais

Agora que sabemos as porcentagens, precisamos dos valores em reais que cada grupo doou. O valor sugerido é R$ 300,00; um terço é R$ 100,00 e dois terços são R$ 200,00. Esses valores serão usados na média ponderada.

Por que esta fórmula: Para achar uma fração de um valor, multiplicamos o valor pela fração. Um terço de 300 é 300 dividido por 3; dois terços é o dobro disso.

V1/3=13×300,V2/3=23×300V_{1/3} = \frac{1}{3} \times 300, \quad V_{2/3} = \frac{2}{3} \times 300

De onde vem cada valor: 13\frac{1}{3} = enunciado: um terço do valor sugerido · 23\frac{2}{3} = enunciado: dois terços do valor sugerido · 300300 = enunciado: valor sugerido R$ 300,00

V1/3=13×300=100,V2/3=23×300=200V_{1/3} = \frac{1}{3} \times 300 = 100, \quad V_{2/3} = \frac{2}{3} \times 300 = 200

R$ 100,00 e R$ 200,00

NÃO CAIA NESSA!

Confundir as frações: usar 2/3 como 100 e 1/3 como 200.

Passo 4 — Montar a média ponderada com as porcentagens

A média ponderada combina os valores de doação com seus respectivos pesos (as porcentagens). Como as porcentagens somam 100%, a média é a soma dos produtos valor × peso. Incluímos o grupo que não doou com valor zero, pois ele também participa da média.

Por que esta fórmula: A média ponderada é a soma de cada valor multiplicado pelo seu peso, dividida pela soma dos pesos. Como os pesos são porcentagens que somam 1 (em decimal), a divisão é por 1, então basta somar os produtos.

xˉ=0,10×0+0,20×300+0,35×100+0,35×200\bar{x} = 0{,}10 \times 0 + 0{,}20 \times 300 + 0{,}35 \times 100 + 0{,}35 \times 200

De onde vem cada valor: 0,100{,}10 = passo 1: 10% em decimal · 00 = enunciado: não doaram, valor zero · 0,200{,}20 = enunciado: 20% em decimal · 300300 = enunciado: valor integral · 0,350{,}35 = passo 2: 35% em decimal · 100100 = passo 3: um terço de 300 · 200200 = passo 3: dois terços de 300

xˉ=0,10×0+0,20×300+0,35×100+0,35×200\bar{x} = 0{,}10 \times 0 + 0{,}20 \times 300 + 0{,}35 \times 100 + 0{,}35 \times 200
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o grupo que não doou (valor zero), o que aumenta a média.

Passo 5 — Calcular a soma dos produtos

Agora realizamos as multiplicações e somas para obter o valor médio. Cada termo representa a contribuição de um grupo para a média.

Por que esta fórmula: A soma dos produtos é a aplicação direta da fórmula da média ponderada. Multiplicamos cada valor pela sua porcentagem e somamos.

xˉ=0+60+35+70\bar{x} = 0 + 60 + 35 + 70

De onde vem cada valor: 00 = passo 4: 0,10 × 0 · 6060 = passo 4: 0,20 × 300 · 3535 = passo 4: 0,35 × 100 · 7070 = passo 4: 0,35 × 200

xˉ=0+60+35+70=165\bar{x} = 0 + 60 + 35 + 70 = 165

xˉ\bar{x} = R$ 165,00

NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação, por exemplo, 0,20 × 300 = 60, mas alguns podem calcular 0,20 × 300 = 60, ok; mas cuidado com 0,35 × 200 = 70.

Resposta: R$ 165,00 (alternativa C)

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