Estatística · FCC · 2024 | Questão sqc-fc071231

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra A. O novo intervalo é [164,08; 165,92], pois, ao quadruplicar o tamanho da amostra (de 64 para 256), o erro padrão da média cai pela metade (de 1,84 para 0,92), e a margem de erro, que era 1,84, passa a ser 0,92 — mantendo a mesma média amostral de 165,00 e o mesmo nível de confiança. A relação é direta: a margem de erro é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra.

O intervalo de confiança para a média de uma população normal com desvio padrão conhecido é construído como:

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

em que $\bar{x}$ é a média amostral, $z_{\alpha/2}$ é o quantil da normal padrão associado ao nível de confiança, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra. O termo $z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é a margem de erro (ou erro máximo de estimativa).

No primeiro estudo, com $n = 64$ e $\sigma = 9$ , o erro padrão é $\frac{9}{\sqrt{64}} = \frac{9}{8} = 1,125$ . A margem de erro observada é a metade da amplitude do intervalo: $\frac{166,84 - 163,16}{2} = \frac{3,68}{2} = 1,84$ . Isso permite recuperar o quantil: $z_{\alpha/2} = \frac{1,84}{1,125} = 1,6356$ (próximo de 1,64, típico de 90% de confiança). A média amostral é o ponto médio: $\frac{163,16 + 166,84}{2} = 165,00$ .

Na nova amostra, $n' = 4 \times 64 = 256$ . O novo erro padrão é $\frac{9}{\sqrt{256}} = \frac{9}{16} = 0,5625$ . Como o nível de confiança é o mesmo, o quantil $z_{\alpha/2}$ não muda, e a nova margem de erro é $1,6356 \times 0,5625 = 0,92$ (exatamente a metade de 1,84, pois $\sqrt{4} = 2$ ). Com a mesma média amostral de 165,00, o novo intervalo é $165,00 \pm 0,92 = [164,08; 165,92]$ .

A pegadinha clássica da banca é o aluno esquecer que o erro padrão diminui com a raiz quadrada do tamanho da amostra, e não linearmente. Quadruplicar $n$ reduz a margem de erro pela metade, não a um quarto. Além disso, a média amostral permanece a mesma, pois o enunciado afirma explicitamente que ela não mudou.

Caso	Atribuição (n, σ, z, x̄)	Resultado
Estudo 1 (n=64)	n=64, σ=9, z=1,6356, x̄=165,00	Intervalo [163,16; 166,84], margem E=1,84
Estudo 2 (n=256)	n=256, σ=9, z=1,6356, x̄=165,00	Intervalo [164,08; 165,92], margem E=0,92
Relação entre estudos	n₂=4n₁, √4=2	E₂=E₁/2=0,92, intervalo correto (letra A)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo [164,08; 165,92] está centrado em 165,00 e tem margem de erro 0,92, exatamente a metade da margem original (1,84). Isso decorre de $n$ ter quadruplicado: $\sqrt{4} = 2$ , então o erro padrão cai pela metade e, com o mesmo $z$ , a margem também cai pela metade. A média amostral é preservada, como manda o enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo [162,08; 165,92] tem o limite superior correto (165,92), mas o limite inferior está errado (162,08). Isso corresponderia a uma margem de erro de 1,92, que é maior que a original — o que contraria o efeito de aumentar a amostra. O aluno que erra aqui provavelmente subtraiu 2,92 em vez de 0,92, ou confundiu a nova margem com a antiga.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo [163,16; 166,84] é exatamente o intervalo original. A banca tenta confundir o candidato que acha que, por a média amostral ser a mesma, o intervalo não muda. Mas o tamanho da amostra mudou, e isso afeta a precisão da estimativa: com mais dados, o intervalo fica mais estreito.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo [161,16; 168,84] tem amplitude 7,68, o dobro da amplitude original (3,68). Isso seria o efeito de dividir o tamanho da amostra por 4, não multiplicar. O candidato que inverte a relação (acha que aumentar $n$ aumenta a margem) cai nessa alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo [164,84; 165,16] tem margem de erro 0,16, que é muito menor que a correta (0,92). Isso corresponderia a um erro padrão de $\frac{0,16}{1,6356} \approx 0,098$ , o que exigiria $n \approx 8400$ — um valor absurdo para o problema. O aluno que erra aqui provavelmente dividiu a margem por 4 (em vez de 2), confundindo a relação com a raiz quadrada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a relação entre tamanho da amostra e margem de erro. O erro mais comum é achar que quadruplicar $n$ divide a margem por 4, quando na verdade divide por $\sqrt{4} = 2$ . Outra armadilha é a alternativa C, que repete o intervalo original — o candidato que não percebe que a amostra mudou cai nela. Lembre-se: a margem de erro é inversamente proporcional a $\sqrt{n}$ , não a $n$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança com mudança no tamanho da amostra, monte a razão entre as margens: $\frac{E_2}{E_1} = \sqrt{\frac{n_1}{n_2}}$ . Se $n_2 = 4n_1$ , então $E_2 = E_1 / 2$ . Isso resolve a questão em segundos, sem precisar calcular o quantil.

Gabarito: letra A.