Estatística · FCC · 2024 | Questão sqc-fc071417

Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida

Gabarito: letra A. O novo intervalo é [164,08; 165,92]. Como o desvio-padrão populacional é conhecido (σ = 9 cm), o intervalo de confiança para a média é dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Ao quadruplicar o tamanho da amostra (de 64 para 256), o erro padrão cai pela metade, pois $\sqrt{256} = 2 \cdot \sqrt{64}$ . Como a média amostral permanece a mesma (165 cm) e o nível de confiança é mantido, o novo intervalo terá metade da amplitude do anterior.

A questão explora a relação entre o tamanho da amostra e a precisão do intervalo de confiança. Vamos entender o que acontece passo a passo.

Primeiro, identificamos os dados do problema:

Desvio-padrão populacional: $\sigma = 9$ cm
Tamanho da amostra inicial: $n_1 = 64$
Intervalo de confiança inicial: [163,16; 166,84]
Novo tamanho da amostra: $n_2 = 4 \times 64 = 256$
Mesma média amostral e mesmo nível de confiança

O intervalo de confiança para a média, quando a variância é conhecida, tem a forma:

IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

O termo $z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ é a margem de erro (ou erro máximo de estimativa). A partir do intervalo inicial, podemos encontrar a média amostral e a margem de erro:

Média amostral: $\bar{x} = \frac{163,16 + 166,84}{2} = 165$
Margem de erro inicial: $E_1 = 166,84 - 165 = 1,84$

A margem de erro é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra. Quando o tamanho da amostra é multiplicado por 4, a raiz quadrada do tamanho é multiplicada por 2, portanto a margem de erro é dividida por 2:

E_2 = \frac{E_1}{2} = \frac{1,84}{2} = 0,92

Assim, o novo intervalo é:

[165 - 0,92; \, 165 + 0,92] = [164,08; 165,92]

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente o intervalo [164,08; 165,92], que resulta da divisão da margem de erro por 2, mantendo a média amostral de 165 cm. O raciocínio está correto: ao quadruplicar o tamanho da amostra, o erro padrão cai pela metade, e o intervalo fica mais estreito.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo [162,08; 165,92] tem o limite superior correto (165,92), mas o limite inferior está errado. Isso sugere que o candidato pode ter subtraído 2,92 em vez de 0,92, ou confundiu a margem de erro com outro valor. O limite inferior correto é 164,08.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa repete o intervalo original [163,16; 166,84]. Ela ignora o aumento do tamanho da amostra, que necessariamente reduz a margem de erro. Se o tamanho da amostra aumenta, o intervalo deve ficar mais estreito, não permanecer igual.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo [161,16; 168,84] é mais largo que o original, o que contraria o efeito do aumento do tamanho da amostra. A margem de erro aqui é 3,84, que é o dobro da margem original (1,84). Isso aconteceria se o tamanho da amostra fosse dividido por 4, não multiplicado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo [164,84; 165,16] tem amplitude de 0,32, que é muito menor que a metade da amplitude original (1,84). Isso corresponderia a um aumento de 16 vezes no tamanho da amostra, não de 4 vezes. A margem de erro correta é 0,92, não 0,16.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o tamanho da amostra e a raiz quadrada dele. Muitos candidatos dividem a margem de erro por 4 (achando que quadruplicar a amostra reduz o erro a um quarto), mas a relação é com a raiz quadrada: $\sqrt{4} = 2$ , então o erro cai pela metade. Fique atento: a margem de erro é inversamente proporcional a $\sqrt{n}$ , não a $n$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança, lembre-se sempre da fórmula $E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Se o tamanho da amostra é multiplicado por um fator $k$ , a margem de erro é dividida por $\sqrt{k}$ . Isso resolve rapidamente qualquer variação desse tipo de questão.

Gabarito: letra A