Questão de Matemática — Probabilidade — FCC 2024

Probabilidade: permutações e eventos complementares

Gabarito: letra E (2/3). A probabilidade de que pelo menos um destinatário receba a carta correta é o complemento da probabilidade de que nenhum receba a carta correta. Como há 3! = 6 maneiras de distribuir as cartas e apenas 2 dessas maneiras resultam em nenhum acerto (os "desarranjos" de 3 elementos), a probabilidade pedida é $1 - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

O problema clássico das cartas e envelopes é um caso de permutação caótica (ou desarranjo): queremos contar as permutações em que nenhum elemento permanece em sua posição original. Para 3 elementos, os desarranjos são exatamente 2: se as cartas são A, B, C e os envelopes 1, 2, 3, as únicas distribuições em que ninguém recebe a carta certa são (A→2, B→3, C→1) e (A→3, B→1, C→2). Todas as outras 4 permutações têm pelo menos um acerto.

A pegadinha da banca está em pedir "pelo menos um" — o candidato apressado calcula a probabilidade de exatamente um acerto (que é 1/2) e erra, esquecendo que os casos com dois ou três acertos também satisfazem a condição. O caminho mais seguro é sempre usar o complemento: $P(\text{pelo menos um}) = 1 - P(\text{nenhum})$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

1/6 é a probabilidade de um evento específico, como a distribuição exata (A→1, B→2, C→3), que é 1/6. Não corresponde a "pelo menos um acerto".

Alternativa B — ❌ Incorreta

1/3 é a probabilidade de exatamente dois acertos (que, com três cartas, implica três acertos, pois se duas estão certas a terceira também está) — ou seja, 2/6 = 1/3. Mas o evento pedido inclui também os casos com um acerto, então é maior que isso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1/2 é a probabilidade de exatamente um acerto (3 casos em 6). O candidato que calcula só isso esquece os casos com dois/três acertos, que também contam para "pelo menos um".

Alternativa D — ❌ Incorreta

1/4 não corresponde a nenhum evento natural neste espaço amostral de 6 permutações. É um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade de nenhum acerto é 2/6 = 1/3. Logo, a probabilidade de pelo menos um acerto é $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Confira: os 4 casos favoráveis são (1 acerto: 3 casos) + (3 acertos: 1 caso) = 4/6 = 2/3.

Gabarito: letra E.