Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FCC 2025

Medidas de posição e variabilidade: propriedades sob transformações lineares

Gabarito: letra D. A moda, quando existe, é sempre um valor que pertence ao conjunto de dados observados (é o valor de maior frequência), e a população pode apresentar mais de uma moda (distribuição bimodal, multimodal). As demais alternativas erram ao afirmar que o desvio padrão é afetado por soma/subtração de constante (não é), que a variância multiplica por 1,10 quando os dados são multiplicados por 1,10 (multiplica por $1,10^2$), que a mediana sempre pertence ao conjunto (não pertence quando o número de elementos é par) e que o coeficiente de variação aumenta 5% com aumento de 5% (na verdade, o coeficiente de variação permanece inalterado).

A questão explora as propriedades das medidas de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (desvio padrão, variância, coeficiente de variação) quando os dados sofrem transformações lineares do tipo $Y = aX + b$ (multiplicação por constante e/ou soma de constante). Essas propriedades são clássicas e muito cobradas em concursos. Vamos revisá-las com cuidado, pois cada alternativa testa uma delas.

Propriedades sob transformação linear $Y = aX + b$:

• Média: $\bar{Y} = a\bar{X} + b$ (a média é afetada tanto pela multiplicação quanto pela soma).

• Mediana: $Md_Y = a \cdot Md_X + b$ (a mediana também é afetada da mesma forma).

• Moda: $Mo_Y = a \cdot Mo_X + b$ (a moda também segue a mesma transformação).

• Desvio padrão: $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma_X$ (o desvio padrão é afetado apenas pela multiplicação, não pela soma).

• Variância: $\sigma_Y^2 = a^2 \cdot \sigma_X^2$ (a variância é afetada pelo quadrado da constante multiplicativa).

• Coeficiente de variação: $CV_Y = \frac{\sigma_Y}{\bar{Y}} = \frac{|a|\sigma_X}{a\bar{X} + b}$. Se $b = 0$ e $a > 0$, então $CV_Y = \frac{a\sigma_X}{a\bar{X}} = \frac{\sigma_X}{\bar{X}} = CV_X$ — ou seja, o coeficiente de variação não se altera quando todos os valores são multiplicados por uma constante positiva (aumento percentual).

Agora, vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que, ao somar ou subtrair uma constante a todos os elementos, a média e o desvio padrão ficarão somados ou subtraídos da mesma constante. O erro está no desvio padrão: a soma/subtração de constante não altera o desvio padrão, pois a dispersão dos dados em torno da média permanece a mesma. Apenas a média é deslocada pela constante. O desvio padrão só é afetado pela multiplicação por constante (em módulo).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que, com um aumento de 10% (multiplicação por 1,10), a nova variância será a anterior multiplicada por 1,10. O correto é que a variância é multiplicada pelo quadrado da constante: $\sigma_{nova}^2 = (1,10)^2 \cdot \sigma_{antiga}^2 = 1,21 \cdot \sigma_{antiga}^2$. Portanto, o fator correto é 1,21, não 1,10. A banca troca o fator linear pelo quadrático.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que a mediana pertence ao conjunto correspondente à população. Isso nem sempre é verdade: quando o número de elementos é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais, que pode não ser um valor presente no conjunto. Por exemplo, na população {1, 2, 3, 4}, a mediana é (2+3)/2 = 2,5, que não pertence ao conjunto. A segunda parte (poderá ser inferior ou superior à média) é verdadeira, mas a primeira parte torna a alternativa incorreta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que a moda, quando existe, sempre pertence ao conjunto correspondente à população, e que a população pode ter mais de uma moda. Isso está correto: a moda é, por definição, o valor (ou valores) que ocorre(m) com maior frequência no conjunto de dados. Portanto, ela é sempre um dos valores observados. Além disso, uma distribuição pode ser bimodal (duas modas), trimodal (três modas) ou multimodal (várias modas), quando há empate nas frequências máximas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que, com um aumento de 5% (multiplicação por 1,05), o novo coeficiente de variação ficará aumentado em 5%. Isso é falso: quando todos os valores são multiplicados por uma constante positiva, o desvio padrão e a média são multiplicados pela mesma constante, de modo que o coeficiente de variação (desvio padrão dividido pela média) permanece inalterado. Ou seja, $CV_{novo} = \frac{1,05 \cdot \sigma}{1,05 \cdot \bar{X}} = \frac{\sigma}{\bar{X}} = CV_{antigo}$. O coeficiente de variação é invariante a mudanças de escala (multiplicação por constante positiva).

Gabarito: letra D