Questão de Estatística — Modelos lineares — FCC 2025

Regressão linear simples: estimativa do coeficiente angular

Gabarito: letra C. O acréscimo anual da receita tributária é o coeficiente angular $\beta$ da reta de regressão $Y_t = \alpha + \beta t + \varepsilon_t$. Pelo método dos mínimos quadrados, a reta ajustada passa pelo ponto das médias $(\bar{t}, \bar{Y})$, e como $\hat{\alpha} = 15$ e a média de $Y$ é $\bar{Y} = 370/10 = 37$, temos $37 = 15 + \hat{\beta} \cdot 5{,}5$, o que resulta em $\hat{\beta} = 4{,}0$ bilhões de reais por ano.

O modelo $Y_t = \alpha + \beta t + \varepsilon_t$ é uma regressão linear simples em que a variável explicativa é o tempo $t$ (codificado como 1, 2, 3, …, 10 para os anos de 2015 a 2024) e a variável resposta é a receita tributária anual. O coeficiente $\beta$ representa exatamente a variação esperada em $Y$ para cada incremento de uma unidade em $t$ — ou seja, o acréscimo anual da receita. O método dos mínimos quadrados garante que a reta estimada passa pelo ponto $\left(\bar{t}, \bar{Y}\right)$, propriedade que é a chave para resolver a questão sem precisar dos dados brutos.

A média dos valores de $t$ é $\bar{t} = \frac{1+2+\cdots+10}{10} = \frac{55}{10} = 5{,}5$. A média das receitas é $\bar{Y} = \frac{370}{10} = 37$ bilhões de reais. Como a reta ajustada é $\hat{Y}_t = \hat{\alpha} + \hat{\beta} t$ e ela passa por $(\bar{t}, \bar{Y})$, substituímos: $37 = 15 + \hat{\beta} \cdot 5{,}5$. Isolando, $\hat{\beta} \cdot 5{,}5 = 22$, logo $\hat{\beta} = \frac{22}{5{,}5} = 4{,}0$.

A pegadinha da banca está em não perceber que a reta passa pelo ponto das médias. Muitos candidatos tentam usar a fórmula completa de mínimos quadrados, que exige os somatórios de $t^2$ e $t \cdot Y$, mas o enunciado não fornece esses valores — e eles não são necessários. A propriedade do ponto médio resolve a questão de forma direta e elegante.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 36 não corresponde a nenhuma grandeza do problema. Ele é o dobro da média das receitas ($2 \times 37 = 74$ não é 36) e não tem relação com o coeficiente angular. Provavelmente foi gerado como um distrator numérico aleatório, sem vínculo com os cálculos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2,4 é o resultado de um erro de cálculo comum: dividir a diferença entre a média e o intercepto por um denominador errado. Se o aluno usasse $\bar{t} = 10$ (o último valor de $t$) em vez de $5{,}5$, obteria $\frac{37-15}{10} = 2{,}2$, que não é 2,4. Outra possibilidade é dividir 22 por 9 (número de intervalos entre os 10 anos), resultando em $\approx 2{,}44$. O denominador correto é a média de $t$, que é 5,5.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\hat{\beta} = \frac{\bar{Y} - \hat{\alpha}}{\bar{t}} = \frac{37 - 15}{5{,}5} = \frac{22}{5{,}5} = 4{,}0$. O acréscimo anual da receita tributária é de 4,0 bilhões de reais. A alternativa espelha exatamente o resultado do cálculo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 6,0 é o resultado de dividir a soma das receitas (370) por um denominador incorreto, como 61,67, ou de uma confusão com a média de $t$ (5,5) somada a algo. Não há operação que produza 6,0 a partir dos dados fornecidos de forma correta. É um distrator que pode atrair quem tenta usar a soma total diretamente sem passar pela média.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 4,8 é o resultado de dividir 22 por um denominador de aproximadamente 4,58, que não corresponde a nenhuma estatística do problema. Também poderia surgir de um erro ao calcular $\bar{t}$ como $\frac{55}{10} = 5{,}5$ e depois usar $\frac{22}{5{,}5} = 4{,}0$ corretamente, mas arredondar ou trocar sinais. Não há fundamento nos dados para esse valor.

Gabarito: letra C.