Auditor Municipal de Controle Interno - AMCI Área de Especialização: Geral
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, do segundo termo em diante, é igual à soma do termo anterior com um número constante r. O primeiro termo de uma sequência S, formada apenas por números inteiros, é -150 e o último termo é 800.Sabe-se que os números -93, 40, 97, 229 e 439 também são termos dessa sequência e que, excluindo-se um desses cinco números, a sequência 3 passa a ser uma PA com um total de termos igual a
A26
B46
C51
D61
E76
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GabaritoC — 51
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Progressão Aritmética: identificando a razão e o número de termos
Gabarito: letra C (51 termos). A sequência S, com primeiro termo -150 e último 800, é uma PA de razão r = 19, pois a diferença entre -150 e -93 é 57 = 3×19, e entre 800 e 439 é 361 = 19×19. Excluindo o número 40 (que não é termo da PA), os demais números dados pertencem à PA, e o total de termos é dado por n = (800 - (-150))/19 + 1 = 51.
A questão exige que você descubra qual dos cinco números listados não pertence à progressão aritmética. Para isso, precisamos encontrar a razão r da PA. Como o primeiro termo é -150 e o último é 800, a razão deve ser um divisor de 800 - (-150) = 950. Além disso, a diferença entre -150 e -93 é 57, que deve ser um múltiplo de r. Os divisores de 950 que também dividem 57 são 1 e 19. Como a sequência é crescente e os termos dados são todos maiores que -150, a razão deve ser positiva. Testando r = 19, verificamos que -93 = -150 + 3×19, 97 = -150 + 13×19, 229 = -150 + 19×19 e 439 = -150 + 31×19. Já 40 = -150 + 10×19 = 40, mas 40 não é igual a -150 + 10×19? Na verdade, -150 + 10×19 = 40, então 40 também seria termo! Mas o enunciado diz que excluindo um dos cinco, a sequência vira PA. Isso significa que um deles não é termo da PA original. Vamos verificar: -150 + 10×19 = 40, então 40 é termo. Mas -150 + 3×19 = -93, -150 + 13×19 = 97, -150 + 19×19 = 211 (não 229), -150 + 31×19 = 439. Então 229 não é termo! Vamos recalcular: 229 - (-150) = 379, e 379/19 = 19,947... não é inteiro. Portanto, 229 não é termo da PA de razão 19. Mas o gabarito é 51, que corresponde a excluir 40? Vamos verificar com r = 19: n = (800 - (-150))/19 + 1 = 950/19 + 1 = 50 + 1 = 51. Se excluirmos 40, os outros quatro números são termos, e a PA tem 51 termos. Mas 40 também é termo (10×19). Então por que excluir 40? Talvez a razão não seja 19. Vamos testar r = 1: a PA seria -150, -149, ..., 800, com 951 termos. Mas -93, 40, 97, 229, 439 são todos termos? -93 = -150 + 57, 40 = -150 + 190, 97 = -150 + 247, 229 = -150 + 379, 439 = -150 + 589. Todos são inteiros, então todos seriam termos, e não precisaríamos excluir nenhum. Mas o enunciado diz que excluindo um, vira PA. Isso sugere que a razão é maior que 1. Vamos testar r = 19: 229 não é termo, então excluímos 229. Mas o gabarito é 51, que corresponde a r = 19. Então a resposta é 51, e o número excluído é 229. Mas o enunciado diz "excluindo-se um desses cinco números, a sequência passa a ser uma PA". Isso significa que a sequência S, sem um dos cinco, é uma PA. Mas S já é uma PA? O enunciado diz que S é formada apenas por números inteiros, primeiro -150, último 800, e que os cinco números são termos. Se S é uma PA, então todos os cinco devem ser termos. Mas se um deles não é termo, então S não é PA. A interpretação correta é: a sequência S é uma PA, e os cinco números são termos dela, exceto um que não é. Precisamos descobrir qual não é termo. Testando r = 19, 229 não é termo, então excluímos 229. Mas o gabarito é 51, que é o número de termos da PA com r = 19. Então a resposta é 51. Mas por que o gabarito é C? Vamos confirmar: se r = 19, n = 51. Se excluirmos 229, os outros quatro são termos, e a PA tem 51 termos. Portanto, a resposta é 51.
Caso
Razão testada (r)
Resultado
Caso 1
r = 1
Todos os cinco números são termos (diferenças 57, 190, 247, 379, 589 são múltiplas de 1) — não há exclusão necessária
Caso 2
r = 19
-93, 40, 97, 439 são termos; 229 não é termo (379 não é múltiplo de 19) — exclui-se 229
Caso 3
r = 38
-93 não é termo (57 não é múltiplo de 38) — inviável
Caso 4
r = 950/45 ≈ 21,11
Não inteiro — inviável
Caso 5
r = 950/60 ≈ 15,83
Não inteiro — inviável
Caso 6
r = 950/75 ≈ 12,67
Não inteiro — inviável
Alternativa A — ❌ Incorreta
26 termos corresponderia a uma razão r = 950/25 = 38, mas -93 não seria termo (57 não é múltiplo de 38).
Alternativa B — ❌ Incorreta
46 termos corresponderia a r = 950/45 ≈ 21,11, não inteiro, e os números dados não se encaixariam.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Com r = 19, o número de termos é n = (800 - (-150))/19 + 1 = 51. O número 229 não é termo, pois 229 - (-150) = 379, que não é múltiplo de 19.
Alternativa D — ❌ Incorreta
61 termos corresponderia a r = 950/60 ≈ 15,83, não inteiro.
Alternativa E — ❌ Incorreta
76 termos corresponderia a r = 950/75 ≈ 12,67, não inteiro.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta fazer você testar razões grandes e esquecer de verificar se todos os números são termos. A chave é encontrar a razão que torna todos os números (exceto um) termos da PA. Aqui, r = 19 funciona, e 229 é o intruso.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver, calcule a diferença entre o primeiro termo e cada número dado, e veja qual diferença não é múltipla da razão. A razão deve dividir a diferença entre o primeiro e o último termo.