Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FCC 2025

Distribuição de Poisson: probabilidade de no máximo um erro

Gabarito: letra B. A probabilidade de ocorrer no máximo um erro em um dia, com média λ = 1, é a soma das probabilidades de ocorrer zero ou um erro, que resulta em $2e^{-1}$. Isso decorre diretamente da função de probabilidade da distribuição de Poisson: $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$.

A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, área, volume), sendo caracterizada por ter média e variância iguais a λ. No caso, λ = 1 representa o número médio de autos de infração com erros por dia. A probabilidade de exatamente $k$ erros é dada pela fórmula acima. Para "no máximo um erro", precisamos calcular $P(X = 0) + P(X = 1)$.

Calculando cada termo:

• $P(X = 0) = \frac{e^{-1} \cdot 1^0}{0!} = e^{-1}$ (pois $0! = 1$ e $1^0 = 1$)

• $P(X = 1) = \frac{e^{-1} \cdot 1^1}{1!} = e^{-1}$

Somando: $P(X \leq 1) = e^{-1} + e^{-1} = 2e^{-1}$.

A pegadinha da questão está em dois pontos: primeiro, muitos candidatos esquecem de incluir $P(X = 0)$ e calculam apenas $P(X = 1) = e^{-1}$ (alternativa E). Segundo, a banca explora a confusão entre "no máximo um" (que inclui zero) e "exatamente um". Além disso, as alternativas com $1 - e^{-1}$ ou $1 - 2e^{-1}$ tentam induzir ao uso do complemento, mas aqui não há complemento envolvido — queremos a probabilidade acumulada diretamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - 2e^{-1}$. Esse valor não corresponde a nenhuma probabilidade relevante do problema. Ele seria o complemento de $2e^{-1}$ (ou seja, a probabilidade de ocorrer mais de um erro), mas a questão pede "no máximo um", não o complemento. A banca tenta confundir quem inverte o raciocínio.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-1} + e^{-1} = 2e^{-1}$. É exatamente a soma das probabilidades de zero e um erro, que é o que o enunciado pede.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $2 - e^{-1}$. Esse valor não tem relação com a distribuição de Poisson. Parece uma mistura dos números 2 e $e^{-1}$, mas não corresponde a nenhuma probabilidade calculada. Provavelmente é um distrator numérico aleatório.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $1 - e^{-1}$. Esse seria o complemento de $P(X = 0)$, ou seja, a probabilidade de ocorrer pelo menos um erro ($P(X \geq 1)$). Mas a questão pede "no máximo um", que inclui o zero, então o complemento não se aplica. A banca tenta confundir quem calcula apenas $P(X \geq 1)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $e^{-1}$, que é apenas $P(X = 1)$ (ou $P(X = 0)$). Quem calcula somente a probabilidade de exatamente um erro cai nessa alternativa, esquecendo de somar a probabilidade de zero erros. É a pegadinha mais comum nesse tipo de questão.

Gabarito: letra B