Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FCC 2025

Distribuição Binomial: probabilidade de exatamente k sucessos

Gabarito: letra D. A probabilidade de encontrar exatamente 2 declarações com erro em 4 examinadas, com probabilidade de erro $p = 1/4$ em cada uma e independência entre elas, é dada pela distribuição binomial: $P(X=2) = C_{4,2} \cdot (1/4)^2 \cdot (3/4)^2 = 6 \cdot (1/16) \cdot (9/16) = 54/256 = 27/128$.

A questão cobra o modelo binomial, que se aplica quando temos $n$ tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso/fracasso) e probabilidade de sucesso constante $p$. Aqui, "sucesso" é a declaração apresentar erro, com $p = 1/4$; o fracasso (declaração sem erro) tem probabilidade $q = 1 - p = 3/4$. O número de sucessos em $n$ tentativas segue a distribuição binomial, cuja função de probabilidade é:

onde $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ é o número de combinações de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ — ele conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais 2 das 4 declarações terão erro. Como as declarações são examinadas de forma independente, a probabilidade de uma sequência específica (por exemplo, erro, erro, sem erro, sem erro) é o produto das probabilidades individuais: $(1/4) \cdot (1/4) \cdot (3/4) \cdot (3/4) = 9/256$. Como há $C_{4,2} = 6$ sequências possíveis com exatamente 2 erros, multiplicamos por 6.

A pegadinha da banca está em não multiplicar pelo coeficiente binomial — muitos candidatos calculam apenas $(1/4)^2 \cdot (3/4)^2 = 9/256$ (alternativa B) e esquecem que as 2 declarações com erro podem estar em qualquer posição entre as 4. O fator $C_{4,2} = 6$ é essencial.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $27/64$ não corresponde a nenhum cálculo direto da binomial. Ele seria obtido se, por engano, calculássemos $C_{4,2} \cdot (1/4)^2 \cdot (3/4)^2$ e errássemos o denominador (por exemplo, usando $4^2 = 16$ em vez de $4^4 = 256$ no denominador, ou confundindo com outra potência). Não há previsão para esse valor no modelo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$27/256$ é exatamente o resultado de $(1/4)^2 \cdot (3/4)^2 = 9/256$ multiplicado por 3, mas o correto é multiplicar por $C_{4,2} = 6$. Na verdade, $9/256$ seria a probabilidade de uma sequência específica com 2 erros (por exemplo, as duas primeiras com erro e as duas últimas sem), sem considerar as outras 5 sequências possíveis. A banca explora exatamente esse erro: esquecer o coeficiente binomial.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$54/128$ é uma fração equivalente a $27/64$ (dividindo numerador e denominador por 2), que não é o resultado correto. O cálculo correto é $54/256$, que simplificado dá $27/128$. A alternativa troca o denominador: usa 128 em vez de 256, provavelmente por erro na potência de 4 (confundindo $4^4 = 256$ com $4^3 = 128$).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula binomial com $n=4$, $k=2$, $p=1/4$ e $q=3/4$:

O cálculo passo a passo: $C_{4,2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$; $(1/4)^2 = 1/16$; $(3/4)^2 = 9/16$; produto: $6 \times 1/16 \times 9/16 = 54/256$; simplificando por 2: $27/128$. É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$9/32$ é o resultado de $54/256$ simplificado incorretamente (dividindo por 6 em vez de por 2), ou ainda o valor de $C_{4,2} \cdot (1/4)^2 \cdot (3/4)^2$ com erro de simplificação. O correto é $27/128$, que é menor que $9/32$ (pois $9/32 = 36/128$). Não corresponde ao cálculo correto.

Gabarito: letra D