Questão de Estatística — Modelos lineares — FCC 2025

Regressão linear simples: estimativa do intercepto

Gabarito: letra C. Na regressão linear simples, a reta ajustada por mínimos quadrados passa obrigatoriamente pelo ponto das médias ($\bar{x}, \bar{y}$). Como $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 50$ e $\hat{b}_1 = 4$, o intercepto é $\hat{b}_0 = \bar{y} - \hat{b}_1 \bar{x} = 50 - 4 \times 10 = 10$.

A propriedade central aqui é que a reta de regressão estimada por mínimos quadrados sempre passa pelo ponto formado pelas médias amostrais das variáveis. Isso decorre das equações normais do método: a primeira equação normal, obtida ao derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação a $b_0$ e igualar a zero, garante que a soma dos resíduos é nula, o que implica que a média dos valores ajustados é igual à média dos valores observados. Consequentemente, o ponto ($\bar{x}, \bar{y}$) pertence à reta ajustada.

Assim, para qualquer modelo $y_i = b_0 + b_1 x_i + e_i$, com $E(e_i) = 0$, vale a relação:

Isso permite isolar o intercepto estimado:

Substituindo os valores do enunciado:

A banca explora exatamente essa propriedade: muitos candidatos tentam calcular o intercepto por outras vias (como usar a fórmula completa com somatórios) e se perdem, quando a questão entrega justamente as médias e o coeficiente angular. O atalho é lembrar que a reta passa pelo ponto médio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 20 seria obtido se o candidato subtraísse apenas $\bar{x}$ de $\bar{y}$ ($50 - 10 = 40$) e depois dividisse por 2, ou se confundisse a ordem das operações. Não corresponde a nenhuma relação correta entre os parâmetros.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 30 poderia surgir de um cálculo equivocado como $\bar{y} - \bar{x} = 40$ e depois subtrair $\hat{b}_1$ (40 - 4 = 36, não 30), ou de uma divisão incorreta. Não há fundamento estatístico para esse número.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\hat{b}_0 = \bar{y} - \hat{b}_1 \bar{x} = 50 - 4 \times 10 = 10$. A reta ajustada passa pelo ponto ($\bar{x}, \bar{y}$), e essa é a propriedade que resolve a questão diretamente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 40 é o resultado de $\bar{y} - \bar{x} = 50 - 10 = 40$, ignorando completamente o coeficiente angular $\hat{b}_1$. Esse é um distrator comum: o candidato esquece que o intercepto é o valor de $y$ quando $x = 0$, e não simplesmente a diferença entre as médias.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 15 não tem relação com os dados fornecidos. Poderia surgir de uma divisão incorreta (por exemplo, $\bar{y} / \bar{x} = 5$, ou $\bar{y} - \hat{b}_1 = 46$), mas não corresponde a nenhuma fórmula válida.

Gabarito: letra C