Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 20 lançamentos (alternativa A).

A ideia por trás

Este problema trata de equações do primeiro grau com duas incógnitas, mas que se resolve com uma única equação porque o enunciado já dá uma relação entre as incógnitas. A ideia é transformar as informações do texto em uma equação que relacione a pontuação total com o número de lançamentos de cada tipo. A equação principal é 18x + 5y = 99, onde x é o número de lançamentos de 8 e também de 10 pontos, e y é o número de lançamentos de 5 pontos. Essa equação vem do fato de que cada lançamento de 8 pontos contribui com 8 pontos, cada de 10 com 10, e cada de 5 com 5, totalizando 99. Como x aparece duas vezes (8 e 10), somamos 8x + 10x = 18x. A equação tem infinitas soluções reais, mas como x e y são números inteiros (contagem de lançamentos), precisamos encontrar a solução inteira que também satisfaça a condição percentual: 25% dos lançamentos não pontuaram, ou seja, 75% pontuaram. Essa condição será usada no final para achar o total. Nesta questão, o desafio é encontrar os valores inteiros de x e y que satisfazem a equação e depois usar a porcentagem para calcular o total.

O que a questão dá

• pontuação por lançamento: 0, 5, 8 ou 10 pontos

• pontuação total: 99 pontos

• número de lançamentos de 8 pontos = número de lançamentos de 10 pontos

• 25% dos lançamentos não pontuaram

O que queremos: o número total de lançamentos feitos na partida

Passo 1 — Definir as incógnitas

Para transformar o problema em equações, precisamos nomear as quantidades desconhecidas. Como o número de lançamentos de 8 e de 10 pontos é o mesmo, usamos a mesma letra x para ambos. Isso simplifica a equação.

Passo 2 — Montar a equação da pontuação

A pontuação total é a soma das contribuições de cada tipo de lançamento. Como os lançamentos de 0 pontos não contribuem, eles ficam de fora. Cada lançamento de 8 pontos contribui com 8, cada de 10 com 10, e cada de 5 com 5. Como há x lançamentos de 8 e x de 10, a contribuição é 8x + 10x = 18x. Somando com 5y, igualamos a 99.

Por que esta fórmula: É a equação que relaciona a pontuação total com o número de lançamentos de cada tipo. É a única equação que temos a partir da pontuação.

De onde vem cada valor: $18x$ = 8x (lançamentos de 8) + 10x (lançamentos de 10), com x igual para ambos · $5y$ = lançamentos de 5 pontos, y é o número deles · $99$ = enunciado: pontuação total

Passo 3 — Encontrar os valores inteiros de x e y

A equação 18x + 5y = 99 tem infinitas soluções reais, mas x e y são contagens de lançamentos, então devem ser inteiros não negativos. Precisamos achar a solução inteira que satisfaz a equação. Como 5y = 99 - 18x, o lado direito deve ser múltiplo de 5. Testamos valores inteiros de x até achar um que torne 99 - 18x divisível por 5.

Por que esta fórmula: Isolamos y para ver a condição de divisibilidade: y = (99 - 18x)/5. Para y ser inteiro, 99 - 18x deve ser múltiplo de 5.

De onde vem cada valor: $99$ = enunciado: pontuação total · $18x$ = passo 2: 18x · $5$ = coeficiente de y na equação do passo 2

x = 3, y = 9

Passo 4 — Calcular o número de lançamentos que pontuaram

Com x = 3 e y = 9, sabemos quantos lançamentos de cada tipo pontuaram. O total de lançamentos que pontuaram é a soma dos lançamentos de 8, 10 e 5 pontos: 2x + y. Isso é necessário porque a informação de 25% não pontuaram nos dirá que 75% pontuaram, e esse número é a parte que corresponde a 75%.

Por que esta fórmula: O total de lançamentos que pontuaram é a soma dos que valeram 8, 10 e 5 pontos. Como há x de 8 e x de 10, temos 2x, mais y de 5.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 3: x = 3, então 2x = 6 · $y$ = passo 3: y = 9

Passo 5 — Usar a porcentagem para achar o total

O enunciado diz que 25% dos lançamentos não pontuaram, então 75% pontuaram. Já sabemos que 15 lançamentos pontuaram, e isso representa 75% do total. Para achar o total T, usamos a relação: 0,75T = 15. Isolamos T dividindo por 0,75.

Por que esta fórmula: A porcentagem é uma proporção: a parte (15) é 75% do todo (T). A fórmula é parte = porcentagem × todo, então 15 = 0,75 × T.

De onde vem cada valor: $15$ = passo 4: lançamentos que pontuaram · $0{,}75$ = enunciado: 25% não pontuaram, então 75% pontuaram

Resposta: 20 lançamentos (alternativa A)