Questão de Matemática — Álgebra — FCC 2025

Problema de depósitos anuais: igualdade de somas

Gabarito: letra D (R$ 114.000,00). A questão pede o total depositado no ano em que a soma dos depósitos de André (inicial + anuais) se iguala à soma dos depósitos de Luís. Resolvendo por equação do 1º grau: André parte de R$ 41.000,00 e adiciona R$ 4.000,00 por ano; Luís parte de R$ 33.000,00 e adiciona R$ 6.000,00 por ano. A igualdade ocorre após 4 anos, quando cada um terá depositado R$ 57.000,00, totalizando R$ 114.000,00.

O problema é uma aplicação direta de equação do 1º grau com duas progressões aritméticas. Vamos modelar:

• André: depósito inicial de R$ 41.000,00 + R$ 4.000,00 por ano. Após $n$ anos, o total depositado por André é $A(n) = 41000 + 4000n$.

• Luís: depósito inicial de R$ 33.000,00 + R$ 6.000,00 por ano. Após $n$ anos, o total depositado por Luís é $L(n) = 33000 + 6000n$.

Queremos o ano em que $A(n) = L(n)$:

Subtraindo $33000$ e $4000n$ de ambos os lados:

Portanto, a igualdade ocorre após 4 anos. Nesse momento, cada um terá depositado:

• André: $41000 + 4000 \times 4 = 41000 + 16000 = 57000$

• Luís: $33000 + 6000 \times 4 = 33000 + 24000 = 57000$

O total depositado pelos dois irmãos é $57000 + 57000 = 114000$ reais.

A pegadinha clássica aqui é o candidato esquecer de incluir o depósito inicial na soma, calculando apenas os depósitos anuais (R$ 4.000 × 4 = R$ 16.000 e R$ 6.000 × 4 = R$ 24.000, total R$ 40.000, que não aparece nas alternativas). Outro erro comum é considerar que a igualdade ocorre no ano em que os depósitos anuais se igualam (o que nunca acontece, pois são fixos), ou confundir o número de anos com o total.

Alternativa A — ❌ Incorreta

R$ 104.000,00. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Se o aluno somasse os depósitos iniciais (41.000 + 33.000 = 74.000) e adicionasse apenas 3 anos de depósitos anuais (3 × 4.000 + 3 × 6.000 = 30.000), obteria 104.000 — mas isso não reflete a condição de igualdade, que exige 4 anos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 94.000,00. Esse valor resulta de somar os depósitos iniciais (74.000) com apenas 2 anos de depósitos anuais (2 × 4.000 + 2 × 6.000 = 20.000), totalizando 94.000. Novamente, não atende à condição de igualdade, que só ocorre no 4º ano.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 84.000,00. Esse valor é obtido somando os depósitos iniciais (74.000) com apenas 1 ano de depósitos anuais (4.000 + 6.000 = 10.000), totalizando 84.000. É um distrator que testa se o aluno identificou corretamente o número de anos necessários.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

R$ 114.000,00. Como demonstrado, após 4 anos André e Luís terão depositado, cada um, R$ 57.000,00 (inicial + 4 depósitos anuais). A soma é R$ 114.000,00. A alternativa espelha exatamente o resultado da equação $41000 + 4000n = 33000 + 6000n$ com $n=4$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 124.000,00. Esse valor seria obtido se o aluno considerasse 5 anos de depósitos anuais (74.000 + 5 × 10.000 = 124.000), mas a igualdade ocorre no 4º ano, não no 5º. É um distrator que testa o erro de contar um ano a mais.

Gabarito: letra D