Questão de Matemática — Probabilidade — FCC 2025

Probabilidade Condicional com Dado Viciado

Gabarito: letra C (1/25). A probabilidade condicional pedida é $P(\{1,3\} \mid \{1,4\}) = \frac{P(\{1,3\} \cap \{1,4\})}{P(\{1,4\})} = \frac{P(1)}{P(1)+P(4)}$. Como as probabilidades das faces são proporcionais a 1, 2, 6 e 24 (face 2 = 2×face 1; face 3 = 3×face 2 = 6×face 1; face 4 = 4×face 3 = 24×face 1), temos $P(1) = \frac{1}{33}$ e $P(4) = \frac{24}{33}$, resultando em $\frac{1/33}{25/33} = \frac{1}{25}$.

O ponto central desta questão é que as faces do dado NÃO são equiprováveis — o dado é viciado, com probabilidades proporcionais a pesos. O primeiro passo é descobrir esses pesos. Vamos chamar a probabilidade da face 1 de $p$. Pelo enunciado:

• $P(2) = 2 \times P(1) = 2p$

• $P(3) = 3 \times P(2) = 3 \times 2p = 6p$

• $P(4) = 4 \times P(3) = 4 \times 6p = 24p$

Como a soma das probabilidades de todas as faces deve ser 1 (axioma da probabilidade total), temos:

Portanto, $P(1) = \frac{1}{33}$, $P(2) = \frac{2}{33}$, $P(3) = \frac{6}{33}$ e $P(4) = \frac{24}{33}$.

Agora, a probabilidade condicional. O evento condicionante é "sair a face 1 ou a face 4", ou seja, $B = \{1, 4\}$. O evento de interesse é "sair a face 1 ou a face 3", ou seja, $A = \{1, 3\}$. A interseção $A \cap B$ é o conjunto de faces que estão em ambos: apenas a face 1, pois a face 3 não está em B e a face 4 não está em A. Assim:

A fórmula da probabilidade condicional é a ferramenta central: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, que aparece no material de apoio como a definição de probabilidade condicional.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1/4 seria obtido se o candidato tratasse as faces como equiprováveis e calculasse $P(\{1,3\}|\{1,4\})$ como $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (errado) ou se confundisse a razão entre os pesos. Na verdade, 1/4 não corresponde a nenhuma razão direta entre as probabilidades calculadas — é um distrator que ignora completamente o vício do dado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1/50 não tem relação com os cálculos. Ele poderia surgir de um erro na soma dos pesos (por exemplo, somar 1+2+3+4 = 10 e depois errar a fração), mas não corresponde a nenhuma razão correta entre as probabilidades das faces.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(1) = \frac{1}{33}$ e $P(4) = \frac{24}{33}$. A probabilidade condicional pedida é $\frac{P(1)}{P(1)+P(4)} = \frac{1/33}{25/33} = \frac{1}{25}$. Este é o valor correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1/6 seria obtido se o candidato calculasse $\frac{P(1)}{P(1)+P(4)}$ mas errasse os pesos, por exemplo, usando $P(4) = 4p$ em vez de $24p$ (esquecendo que a face 4 é 4 vezes mais provável que a face 3, que já é 3 vezes mais provável que a face 2). Com esse erro, teríamos $p + 2p + 6p + 4p = 13p = 1$, e $\frac{1/13}{5/13} = \frac{1}{5}$, que não é 1/6. O valor 1/6 também não corresponde a nenhum cálculo correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1/2 seria a resposta se o dado fosse honesto (equiprovável), pois $P(\{1,3\}|\{1,4\}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. A banca coloca esse distrator justamente para pegar quem esquece que o dado é viciado e trata todas as faces como igualmente prováveis.

Gabarito: letra C