Matemática · FCC · 2026 | Questão sqc-fc076213

Progressão Aritmética: soma dos termos

Gabarito: letra A (25 dias). O tempo de estudo diário forma uma progressão aritmética (PA) de razão 5 minutos, e o total estudado é a soma dos termos dessa PA. Como no 3º dia ela estudou 40 minutos, o 1º dia teve 30 minutos; aplicando a fórmula da soma da PA com total de 2250 minutos, obtém-se D = 25 dias.

O problema descreve uma progressão aritmética (PA): uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante (a razão r). Aqui, os tempos de estudo diários formam uma PA com razão r = 5 minutos (a cada dia, 5 minutos a mais).

Para resolver, precisamos de duas informações-chave:

O primeiro termo (a₁): o enunciado diz que no 3º dia ela estudou 40 minutos. Como cada dia soma 5 minutos, o 2º dia teve 35 minutos e o 1º dia teve 30 minutos. Assim, a₁ = 30 min.

A soma dos D primeiros termos (S_D): o total estudado foi 2250 minutos, então S_D = 2250.

A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA é:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

onde aₙ é o termo geral, dado por $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ .

Substituindo os valores conhecidos (a₁ = 30, r = 5, S_D = 2250):

2250 = \frac{(30 + 30 + (D-1) \cdot 5) \cdot D}{2}

2250 = \frac{(60 + 5D - 5) \cdot D}{2}

2250 = \frac{(55 + 5D) \cdot D}{2}

4500 = 55D + 5D^2

5D^2 + 55D - 4500 = 0

Dividindo por 5:

D^2 + 11D - 900 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau:

D = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 3600}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{3721}}{2} = \frac{-11 \pm 61}{2}

As raízes são D = 25 e D = -36. Como o número de dias é positivo, D = 25.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo acima confirma que D = 25 dias. A soma dos 25 primeiros termos da PA com a₁ = 30 e r = 5 é exatamente 2250 minutos, batendo com o total do enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

D = 22 dias resultaria em uma soma menor que 2250 minutos. Calculando: a₂₂ = 30 + 21·5 = 135, e S₂₂ = (30 + 135)·22/2 = 1815 minutos, bem abaixo do total dado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

D = 24 dias também não fecha. a₂₄ = 30 + 23·5 = 145, e S₂₄ = (30 + 145)·24/2 = 2100 minutos, ainda inferior a 2250.

Alternativa D — ❌ Incorreta

D = 26 dias ultrapassa o total. a₂₆ = 30 + 25·5 = 155, e S₂₆ = (30 + 155)·26/2 = 2405 minutos, que é maior que 2250.

Alternativa E — ❌ Incorreta

D = 27 dias também excede. a₂₇ = 30 + 26·5 = 160, e S₂₇ = (30 + 160)·27/2 = 2565 minutos, bem acima do total.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos candidatos tentam resolver por tentativa e erro ou esquecem de converter os 5 minutos corretamente. O erro clássico é usar o 3º dia (40 min) como se fosse o 1º, o que daria a₁ = 40 e levaria a um D diferente. Fique atento: o 3º termo é a₁ + 2r, então a₁ = 40 − 10 = 30. Com treino, você identifica rapidamente o primeiro termo e aplica a fórmula da soma sem sustos 💪.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de PA com soma total, monte o sistema com as duas fórmulas: termo geral ( $a_n = a_1 + (n-1)r$ ) e soma ( $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$ ). Identifique primeiro o a₁ e a razão, depois substitua na soma. Se o resultado for uma equação do 2º grau, lembre-se de descartar a raiz negativa — dias não podem ser negativos.

Gabarito: letra A