GabaritoC — 11.
Gabarito: letra C (11). Fatorando 1155 em números primos, obtemos . Como o enunciado pede quatro números naturais diferentes de 1 cujo produto é 1155, a única decomposição possível (pelo Teorema Fundamental da Aritmética) é exatamente esses quatro fatores primos, e o maior deles é 11.
A questão exige dois conhecimentos básicos: a fatoração em números primos (decompor um número em produto de primos) e o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única (a menos da ordem) como produto de números primos. Como 1155 é um número composto, a fatoração é a ferramenta certa.
Vamos fatorar 1155:
1155 é divisível por 3? Sim, pois a soma dos algarismos é divisível por 3. .
385 é divisível por 5? Sim, pois termina em 5. .
77 é divisível por 7? Sim, .
11 é primo.
Portanto, . Como todos os fatores são primos e distintos, e o enunciado pede quatro números diferentes de 1, a única forma de escrever 1155 como produto de quatro números naturais (todos maiores que 1) é usando exatamente esses quatro primos. O maior deles é 11.
A pegadinha da banca está em oferecer alternativas que são produtos parciais da fatoração (como 77 = 7 × 11, 33 = 3 × 11, 35 = 5 × 7) ou fatores menores (7), tentando induzir o candidato a escolher um número que aparece na fatoração, mas não é o maior dos quatro fatores.
77 é o produto de 7 × 11, ou seja, é um divisor de 1155, mas não é um dos quatro fatores da decomposição em primos. A banca tenta confundir quem fatora parcialmente e para no 77, esquecendo que ainda falta decompor 77 em 7 × 11.
33 é o produto de 3 × 11, outro divisor de 1155, mas não é um dos quatro fatores primos. Novamente, é um distrator que aparece na fatoração, mas não é o maior dos quatro números.
11 é o maior dos quatro fatores primos da decomposição de 1155: . Como os quatro números devem ser naturais e diferentes de 1, a única decomposição possível é essa, e o maior fator é 11.
7 é um dos fatores primos, mas não é o maior. A banca oferece um fator menor para testar se o candidato identifica corretamente o maior entre os quatro.
35 é o produto de 5 × 7, outro divisor de 1155, mas não é um dos quatro fatores primos. Assim como 77 e 33, é um distrator que resulta da multiplicação de dois fatores da decomposição.
A banca explora a confusão entre fator primo e divisor composto. As alternativas A, B e E são produtos de dois fatores primos (77 = 7×11, 33 = 3×11, 35 = 5×7), e a D é um fator menor. O candidato que fatora parcialmente e para no primeiro divisor que encontra (por exemplo, 77) erra. A dica é: fatore até o fim — todos os fatores devem ser primos — e só então identifique o maior.
Para questões de "produto de números naturais", o caminho é sempre a fatoração completa em primos. Se o número é composto, decomponha até obter apenas primos. Depois, verifique se a questão pede os fatores primos ou se permite combinações (como 1 × 1155). Aqui, a restrição "diferentes de 1" elimina o 1, forçando a decomposição em quatro primos.
Gabarito: letra C
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