Estatística · FCC · 2026 | Questão sqc-fc076915

EstatísticaModelos lineares

Código: fc076915
Banca: FCC
Órgão: MPE-SE
Ano: 2026
Nível: Superior

Cargo: Analista do Ministério Público - Ciências Contábeis

Analisando a relação entre o tempo de experiência, em anos, e salários, em salários mínimos (SM), dos empregados em um determinado ramo de atividade, optou-se por utilizar o modelo linear simples Yi = α + βti; + εi, em que Yi, é o salário do empregado i, ti é o tempo de experiência do empregado i, α e β são parâmetros desconhecidos e εi; o erro aleatório com as respectivas hipóteses do modelo de regressão linear simples. Utilizando o método dos mínimos quadrados, com base nas observações de 100 salários de empregados do ramo, obteve-se uma estimativa para o parâmetro a igual a 2. Se a soma dos salários dos empregados observados foi igual a 400 SM e a média dos respectivos tempos de experiência apresentou um valor igual a 2,5 anos, então a previsão do salário de um empregado com 8 anos de experiência é, em SM, de

A7,8
B10,8
C8,4
D9.6
E7,2

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GabaritoC — 8,4

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Regressão Linear Simples: previsão pelo método dos mínimos quadrados

Gabarito: letra C. A previsão do salário para 8 anos de experiência é 8,4 SM, obtida substituindo $t=8$ na reta ajustada $\hat{Y} = 2 + 0{}8t$ . O coeficiente angular $\hat{\beta}$ foi calculado usando a propriedade de que a reta de mínimos quadrados passa pelo ponto das médias $\bar{Y} = 4$ e $\bar{t} = 2{}5$ , o que permite isolar $\hat{\beta}$ sem precisar da soma dos quadrados.

O modelo de regressão linear simples assume que a relação entre a variável resposta $Y$ (salário) e a variável explicativa $t$ (tempo de experiência) é linear, com erros aleatórios independentes de média zero e variância constante. O método dos mínimos quadrados encontra os estimadores $\hat{\alpha}$ e $\hat{\beta}$ que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Uma propriedade fundamental — e que resolve esta questão — é que a reta ajustada sempre passa pelo ponto $\left(\bar{t}, \bar{Y}\right)$ , ou seja, $\bar{Y} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}\bar{t}$ .

Com os dados do enunciado: $n = 100$ , $\sum Y_i = 400$ , logo $\bar{Y} = 400/100 = 4$ SM. A média dos tempos é $\bar{t} = 2{}5$ anos, e a estimativa do intercepto é $\hat{\alpha} = 2$ . Substituindo na propriedade:

4 = 2 + \hat{\beta} \cdot 2{}5 \Rightarrow \hat{\beta} = \frac{4 - 2}{2{}5} = \frac{2}{2{}5} = 0{}8

Assim, a reta ajustada é $\hat{Y} = 2 + 0{}8t$ . Para um empregado com 8 anos de experiência:

\hat{Y} = 2 + 0{}8 \times 8 = 2 + 6{}4 = 8{}4

Portanto, a previsão é de 8,4 SM.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não fornece a soma dos quadrados de $t$ nem a covariância — o que parece faltar dado. O truque é lembrar que a reta de mínimos quadrados passa pelo ponto das médias, permitindo calcular $\hat{\beta}$ apenas com $\bar{Y}$ , $\bar{t}$ e $\hat{\alpha}$ . Quem tenta usar a fórmula $\hat{\beta} = \frac{\sum (t_i - \bar{t})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (t_i - \bar{t})^2}$ trava por falta de dados, mas a propriedade do ponto médio resolve em duas linhas.

1Calcular Ȳ = ΣY/n
2Usar Ȳ = α + β·t̄
3Isolar β̂
4Substituir t na reta

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Alternativa A — ❌ Incorreta

7,8 SM seria o resultado se o coeficiente angular fosse $\hat{\beta} = 0{}725$ (ou se o intercepto fosse 1,4), o que não corresponde aos dados. O erro típico aqui é usar $\hat{\beta} = \bar{Y}/\bar{t} = 4/2{}5 = 1{}6$ e depois subtrair algo indevido, ou simplesmente errar a conta. O valor correto é 8,4.

Alternativa B — ❌ Incorreta

10,8 SM seria obtido se o coeficiente angular fosse $\hat{\beta} = 1{}1$ (por exemplo, se $\bar{Y} = 4{}75$ ), o que não é o caso. Outra forma de chegar a esse número é usar $\hat{\beta} = 1{}6$ (que é $\bar{Y}/\bar{t}$ ) e somar ao intercepto: $2 + 1{}6 \times 8 = 14{}8$ — não bate. O valor 10,8 não tem fundamento nos dados fornecidos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\hat{\beta} = 0{}8$ e a previsão para $t=8$ é $2 + 0{}8 \times 8 = 8{}4$ SM. A alternativa espelha exatamente o cálculo correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

9,6 SM seria o resultado se $\hat{\beta} = 0{}95$ (ou se o intercepto fosse 2,8). O número 9,6 pode surgir de um erro de arredondamento ou de usar $\hat{\beta} = 1{}2$ (que seria $\bar{Y}/\bar{t}$ com $\bar{Y}=3$ ). Nenhuma dessas hipóteses se sustenta com os dados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

7,2 SM seria obtido se $\hat{\beta} = 0{}65$ (ou se o intercepto fosse 1,6). Esse valor pode vir de uma divisão errada: $2/2{}5 = 0{}8$ é correto, mas se o aluno calcular $2/2{}5 = 0{}8$ e depois fizer $2 + 0{}8 \times 6{}5 = 7{}2$ (usando 6,5 em vez de 8), chega a esse número. O tempo de experiência é 8, não 6,5.

Gabarito: letra C — previsão de 8,4 SM para 8 anos de experiência.

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