Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2026

Problema de Razão e Conjuntos: Congresso com duas oficinas

Gabarito: letra E (90 técnicos). A questão envolve razões entre quantidades de inscritos em duas oficinas, considerando o total de 640 técnicos e a interseção entre os conjuntos. A chave é montar um sistema com as duas razões dadas e a informação de que todos se inscreveram em pelo menos uma oficina, resolvendo para o número total de inscritos na oficina A.

Vamos definir as variáveis:

• $a$ = número de técnicos que se inscreveram na oficina A (incluindo os que também se inscreveram em B)

• $b$ = número de técnicos que se inscreveram na oficina B (incluindo os que também se inscreveram em A)

• $x$ = número de técnicos que se inscreveram em ambas as oficinas (interseção)

A primeira razão dada é entre o total de inscritos em A e o total de inscritos em B:

A segunda razão é entre os que se inscreveram somente em A e os que se inscreveram somente em B. Quem se inscreveu somente em A é $a - x$; somente em B é $b - x$. Assim:

Além disso, como todos os 640 técnicos se inscreveram em pelo menos uma oficina, a união dos conjuntos é 640:

Substituindo $a = \frac{3}{20}b$ na equação da união:

Agora, substituímos $a$ e $x$ na segunda razão:

Simplificando o numerador:

Simplificando o denominador:

A equação fica:

Multiplicando cruzado:

Multiplicando tudo por 5 para eliminar a fração:

Agora, calculamos $a$:

Portanto, o número total de técnicos que se inscreveram na oficina A é 90.

Alternativa A — ❌ Incorreta

100 não satisfaz as razões dadas. Se $a = 100$, então $b = \frac{20}{3} \times 100 \approx 666,67$, o que não é inteiro e não fecha com o total de 640. O valor correto é 90.

Alternativa B — ❌ Incorreta

80 também não satisfaz as condições. Com $a = 80$, teríamos $b = \frac{20}{3} \times 80 \approx 533,33$, novamente não inteiro e incompatível com o total. O valor correto é 90.

Alternativa C — ❌ Incorreta

70 não é compatível com as razões. Se $a = 70$, então $b = \frac{20}{3} \times 70 \approx 466,67$, não inteiro. O valor correto é 90.

Alternativa D — ❌ Incorreta

110 também não satisfaz. Com $a = 110$, $b = \frac{20}{3} \times 110 \approx 733,33$, ultrapassando o total de 640 e não inteiro. O valor correto é 90.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

90 é exatamente o valor encontrado pela resolução do sistema. Com $a = 90$, temos $b = 600$, e a interseção $x$ pode ser calculada: $x = \frac{23}{20} \times 600 - 640 = 690 - 640 = 50$. Verificando as razões: $\frac{90}{600} = \frac{3}{20}$ e $\frac{90-50}{600-50} = \frac{40}{550} = \frac{4}{55}$. Tudo confere.

Gabarito: letra E