Estatística · FCC · 2026 | Questão sqc-fc077173

Teorema de Bayes: probabilidade condicional com inversão do condicionante

Gabarito: letra A (69%). A questão pede a probabilidade de o contribuinte ter sido selecionado na malha fiscal, dado que apresenta inconsistência grave — ou seja, $P(Selecionado \mid Grave)$ . Aplicando o Teorema de Bayes, obtemos aproximadamente 69%, pois a proporção de selecionados entre os que têm inconsistência grave é alta, mesmo sendo pequena a fração total de selecionados.

O Teorema de Bayes é a ferramenta certa quando queremos inverter uma probabilidade condicional: o enunciado fornece $P(Grave \mid Selecionado) = 65\%$ e $P(Grave \mid Não\ selecionado) = 4\%$ , mas pergunta $P(Selecionado \mid Grave)$ . A fórmula é:

P(S \mid G) = \frac{P(G \mid S) \cdot P(S)}{P(G \mid S) \cdot P(S) + P(G \mid \bar{S}) \cdot P(\bar{S})}

Substituindo os valores: $P(S) = 0,12$ , $P(\bar{S}) = 0,88$ , $P(G \mid S) = 0,65$ , $P(G \mid \bar{S}) = 0,04$ :

P(S \mid G) = \frac{0,65 \times 0,12}{0,65 \times 0,12 + 0,04 \times 0,88} = \frac{0,078}{0,078 + 0,0352} = \frac{0,078}{0,1132} \approx 0,689 \approx 69\%

A pegadinha clássica é inverter os eventos: muitos candidatos calculam $P(Grave \mid Selecionado) = 65\%$ e marcam a letra B (95%) ou E (57%), sem perceber que a pergunta é sobre a probabilidade de ter sido selecionado, dado que tem inconsistência grave. O Teorema de Bayes existe justamente para corrigir essa inversão.

Evento	Probabilidade	Valor
Selecionado (S)	P(S)	0,12
Não selecionado (¬S)	P(¬S)	0,88
Grave dado Selecionado (G\|S)	P(G\|S)	0,65
Grave dado Não selecionado (G\|¬S)	P(G\|¬S)	0,04
Selecionado e Grave (S ∧ G)	P(S) × P(G\|S)	0,078
Não selecionado e Grave (¬S ∧ G)	P(¬S) × P(G\|¬S)	0,0352
Grave (G)	P(S∧G) + P(¬S∧G)	0,1132
Selecionado dado Grave (S\|G)	P(S∧G) ÷ P(G)	0,689 ≈ 69%

Selecionado

Não selecionado

Sem inconsistência

780 (65%)

352 (4%)

Inconsistência grave

420 (35%)

8.448 (96%)

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando o Teorema de Bayes, como demonstrado acima, obtemos $P(S \mid G) \approx 0,689$ , que arredondado é 69%. É a única alternativa que reflete o cálculo correto da probabilidade condicional invertida.

Alternativa B — ❌ Incorreta

95% é um distrator que surge de um raciocínio equivocado: alguns candidatos somam as probabilidades de inconsistência grave (65% + 4% = 69%) e depois adicionam a fração de selecionados (12%), chegando a um valor próximo de 95%. Esse número não corresponde a nenhuma probabilidade do problema — é apenas um valor fabricado pela combinação incorreta dos dados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

12% é a probabilidade de um contribuinte qualquer ser selecionado na malha fiscal, $P(S)$ . A banca coloca esse valor para testar se o candidato confunde a probabilidade a priori (sem condicionamento) com a probabilidade condicional pedida. Como já sabemos que o contribuinte tem inconsistência grave, a probabilidade de ele ter sido selecionado é muito maior que 12%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

33% é um distrator que pode surgir de uma interpretação errada: alguns candidatos calculam a razão entre a probabilidade de ser selecionado e ter inconsistência grave (0,12 × 0,65 = 0,078) e a probabilidade de não ser selecionado e ter inconsistência grave (0,88 × 0,04 = 0,0352), mas depois fazem a razão de forma incorreta, como $0,078 / (0,078 + 0,0352 + 0,12)$ ou algo similar. O valor 33% não tem fundamento no cálculo correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

57% é outro distrator comum: alguns candidatos calculam a probabilidade de ter inconsistência grave, $P(G) = 0,078 + 0,0352 = 0,1132$ , e depois fazem $0,65 / 0,1132 \approx 5,74$ , ou seja, 574%, e depois dividem por 10, chegando a 57%. Esse número não corresponde a nenhuma probabilidade do problema — é apenas um valor fabricado pela combinação incorreta dos dados.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão do evento condicionante. O enunciado dá $P(Grave \mid Selecionado)$ e $P(Grave \mid Não\ selecionado)$ , mas pergunta $P(Selecionado \mid Grave)$ . O candidato desatento responde 65% (letra B) ou 12% (letra C), sem aplicar o Teorema de Bayes. Lembre-se: quando a pergunta inverte o condicionante, use Bayes — não a probabilidade direta.

PEGA ESSA DICA!

Monte uma tabela de contingência com uma população hipotética de 10.000 contribuintes: 1.200 selecionados (780 com grave) e 8.800 não selecionados (352 com grave). Total com grave = 1.132. A probabilidade pedida é 780 / 1.132 ≈ 69%. Essa técnica evita erros de fórmula e é mais rápida na prova.

Gabarito: letra A