Sequência com padrão em triplas
Gabarito: letra B (7). A sequência é formada por grupos de três termos com progressões próprias. Identificando o padrão, encontra-se que o último termo está na posição n = 751, cujo resto da divisão por 8 é 7.
Identificação do padrão
Listando os 12 primeiros termos:
1º: 7
2º: 100
3º: -300
4º: 11
5º: 91
6º: -294
7º: 15
8º: 82
9º: -288
10º: 19
11º: 73
12º: -282
Observa-se que eles se organizam em triplas (k = 1, 2, 3, …):
1º termo da tripla k: 7, 11, 15, 19, … → progressão aritmética de razão 4.
Fórmula: (a_{3k-2} = 4k + 3).
2º termo da tripla k: 100, 91, 82, 73, … → PA de razão –9.
Fórmula: (a_{3k-1} = 109 - 9k).
3º termo da tripla k: –300, –294, –288, –282, … → PA de razão 6.
Fórmula: (a_{3k} = 6k - 306).
Soma dos três últimos termos
A condição do enunciado: (n \bmod 3 = 1). Escreva (n = 3q + 1).
Os três últimos termos são as posições (n-2 = 3q-1), (n-1 = 3q) e (n = 3q+1).
(a_{3q-1}) = 2º termo da tripla (q) = (109 - 9q)
(a_{3q}) = 3º termo da tripla (q) = (6q - 306)
(a_{3q+1}) = 1º termo da tripla (q+1) = (4(q+1) + 3 = 4q + 7)
Somando:
((109 - 9q) + (6q - 306) + (4q + 7) = q - 190)
O enunciado informa que essa soma é 60:
(q - 190 = 60 \Rightarrow q = 250)
Portanto (n = 3\cdot 250 + 1 = 751).
Resto da divisão por 8
(751 ÷ 8 = 93\cdot 8 = 744), resto (751 - 744 = 7).
Análise das alternativas
A) 6 ❌ – O resto correto é 7.
B) 7 ✅ ⟵ GABARITO – Conforme cálculo acima.
C) 3 ❌ – Não corresponde ao valor encontrado.
D) 4 ❌ – Idem.
E) 5 ❌ – Idem.
Gabarito: letra B.