Um empréstimo é concedido para ser liquidado por meio de 16 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a 1ª prestação 1 mês após a data da realização do empréstimo. Sabe-se que no plano de pagamento foi utilizado o Sistema Price (francês) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês com o valor de cada prestação igual a R$ 15.320,00. Dado que o valor da amortização incluído no valor da 2ª prestação é de R$ 10.578,00, então o saldo devedor da dívida imediatamente após o pagamento da 3ª prestação é igual a
AR$ 174.360,45
BR$ 168.259,55
CR$ 179.102,55
DR$ 189.680,45
ER$ 184.680,45
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GabaritoB — R$ 168.259,55
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 168.259,55 (alternativa B).
A ideia por trás
O Sistema Price (ou Sistema Francês de Amortização) é um plano de pagamento de empréstimos em que todas as prestações são iguais e periódicas. Cada prestação é composta por duas partes: os juros do período e a amortização do principal. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do início do período, e a amortização é o que sobra da prestação após o pagamento dos juros. Como a prestação é fixa, a composição interna muda: os juros diminuem ao longo do tempo (pois o saldo devedor diminui) e a amortização aumenta.
A relação fundamental é PMT = J_t + A_t, onde J_t = i × SD_{t-1}. Isso significa que, para cada período, os juros são proporcionais ao saldo devedor anterior. Se a taxa de juros aumenta, os juros de cada período aumentam, reduzindo a amortização e fazendo o saldo devedor diminuir mais lentamente. A condição de validade é que a taxa e o período estejam na mesma unidade de tempo.
Nesta questão, temos a amortização da 2ª prestação e a taxa mensal. Precisamos usar a relação entre juros, amortização e saldo devedor para retroceder e avançar, encontrando o saldo após a 3ª prestação.
O que a questão dá
número de prestações = 16
taxa de juros = 2,5% ao mês
valor de cada prestação = R$ 15.320,00
amortização da 2ª prestação = R$ 10.578,00
O que queremos: o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 3ª prestação
Passo 1 — Calcular os juros da 2ª prestação
No Sistema Price, cada prestação é a soma dos juros do período mais a amortização. Como conhecemos a prestação (R$ 15.320,00) e a amortização da 2ª (R$ 10.578,00), podemos descobrir os juros da 2ª subtraindo a amortização da prestação. Isso é necessário porque os juros da 2ª incidem sobre o saldo devedor após a 1ª prestação, que é o ponto de partida para os cálculos seguintes.
Por que esta fórmula: A prestação é constante e igual à soma dos juros e da amortização: PMT = J_t + A_t. Portanto, para achar os juros, subtraímos a amortização da prestação.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 15.320,00 · = enunciado: R$ 10.578,00
= R$ 4.742,00
NÃO CAIA NESSA!
Confundir os juros com a amortização e subtrair ao contrário, obtendo um valor negativo.
Passo 2 — Descobrir o saldo devedor após a 1ª prestação
Os juros de um período são calculados sobre o saldo devedor do início desse período. Como os juros da 2ª prestação (R$ 4.742,00) incidem sobre o saldo devedor após a 1ª prestação, podemos usar a fórmula de juros para encontrar esse saldo. Isso é o passo inverso: em vez de calcular juros a partir do saldo, calculamos o saldo a partir dos juros.
Por que esta fórmula: A fórmula dos juros é J = i × SD, onde i é a taxa e SD é o saldo devedor. Isolando SD, temos SD = J / i.
De onde vem cada valor: = passo 1: R$ 4.742,00 · = enunciado: 2,5% ao mês = 0,025
= R$ 189.680,00
NÃO CAIA NESSA!
Usar a taxa em porcentagem (2,5) em vez de decimal (0,025), o que daria um valor 100 vezes menor.
Passo 3 — Calcular o saldo devedor após a 2ª prestação
O saldo devedor diminui a cada prestação pelo valor da amortização. Como já temos o saldo após a 1ª prestação e a amortização da 2ª, podemos subtrair para obter o saldo após a 2ª. Esse saldo será a base para calcular os juros da 3ª prestação.
Por que esta fórmula: O saldo devedor após o pagamento de uma prestação é o saldo anterior menos a amortização paga nessa prestação.
De onde vem cada valor: = passo 2: R$ 189.680,00 · = enunciado: R$ 10.578,00
= R$ 179.102,00
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair a amortização e usar o saldo anterior como se fosse o atual.
Passo 4 — Calcular os juros da 3ª prestação
Os juros da 3ª prestação incidem sobre o saldo devedor após a 2ª prestação, que acabamos de calcular. Precisamos desses juros para descobrir a amortização da 3ª prestação.
Por que esta fórmula: A fórmula dos juros é J = i × SD, onde SD é o saldo devedor do início do período.
De onde vem cada valor: = enunciado: 2,5% ao mês = 0,025 · = passo 3: R$ 179.102,00
= R$ 4.477,55
NÃO CAIA NESSA!
Usar o saldo devedor após a 1ª prestação em vez do após a 2ª, o que daria juros maiores.
Passo 5 — Calcular a amortização da 3ª prestação
Com os juros da 3ª prestação conhecidos, podemos encontrar a amortização da 3ª, que é a parte da prestação que efetivamente reduz o saldo devedor. Isso é necessário para atualizar o saldo após o pagamento da 3ª.
Por que esta fórmula: A prestação é a soma dos juros e da amortização: PMT = J_3 + A_3. Isolando A_3, temos A_3 = PMT - J_3.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 15.320,00 · = passo 4: R$ 4.477,55
= R$ 10.842,45
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a amortização com os juros e subtrair ao contrário.
Passo 6 — Calcular o saldo devedor após a 3ª prestação
O saldo devedor após o pagamento da 3ª prestação é o saldo anterior (após a 2ª) menos a amortização da 3ª. Esse é o valor final que a questão pede.
Por que esta fórmula: O saldo devedor diminui pela amortização paga em cada prestação.
De onde vem cada valor: = passo 3: R$ 179.102,00 · = passo 5: R$ 10.842,45
= R$ 168.259,55
NÃO CAIA NESSA!
Usar o saldo após a 1ª prestação em vez do após a 2ª, ou esquecer de subtrair a amortização.