Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FCC 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3/4 (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de segmentos de reta e razões entre eles. Quando temos pontos colineares, as distâncias entre eles se somam: por exemplo, a distância de A a D é a soma das distâncias de A a B, B a C e C a D. As informações dadas relacionam segmentos que se sobrepõem, então precisamos expressar todos os segmentos em função de uma mesma unidade para compará-los. A razão entre dois segmentos é simplesmente a divisão de seus comprimentos, e o resultado é um número puro, sem unidade. Nesta questão, vamos escolher uma variável para um segmento e deduzir os outros a partir das relações dadas, até conseguir escrever AB e BC em função dessa variável e então calcular a razão.

O que a questão dá

• AB = (1/5) · BD

• AC = (7/11) · CD

• pontos A, B, C, D colineares nessa ordem

O que queremos: a razão AB/BC

Passo 1 — Escolher uma variável para BD

Precisamos de um ponto de partida para expressar as distâncias. Como a primeira relação envolve BD, vamos definir BD como uma incógnita simples, por exemplo, 5x, para facilitar o cálculo de AB.

Por que esta fórmula: Definimos BD = 5x porque AB é 1/5 de BD, então AB = x. Isso evita frações no primeiro passo.

De onde vem cada valor: $BD$ = escolha arbitrária para facilitar · $x$ = variável auxiliar

Passo 2 — Calcular AB a partir de BD

A primeira relação do enunciado diz que AB é 1/5 de BD. Como já definimos BD, podemos calcular AB diretamente.

Por que esta fórmula: A relação é direta: AB = (1/5) · BD. Substituindo BD por 5x, obtemos AB = x.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{5}$ = enunciado: AB é 1/5 de BD · $BD$ = passo 1: BD = 5x

Passo 3 — Calcular AD somando AB e BD

Como os pontos estão em ordem A, B, C, D, a distância AD é a soma de AB e BD. Precisamos de AD para usar a segunda relação, que envolve AC e CD.

Por que esta fórmula: Em uma reta com pontos em ordem, a distância entre os extremos é a soma das distâncias entre os pontos intermediários: AD = AB + BD.

De onde vem cada valor: $AB$ = passo 2: AB = x · $BD$ = passo 1: BD = 5x

Passo 4 — Expressar AC em função de CD

A segunda relação do enunciado é AC = (7/11) · CD. Precisamos dessa relação para encontrar os valores de AC e CD, mas ainda não os conhecemos. Vamos escrever essa equação.

Por que esta fórmula: É a relação dada: AC = (7/11) · CD. Vamos usá-la junto com a soma AD = AC + CD para resolver o sistema.

De onde vem cada valor: $\frac{7}{11}$ = enunciado: AC é 7/11 de CD · $CD$ = incógnita

Passo 5 — Montar equação com AD = AC + CD

Sabemos que AD = AC + CD, pois C está entre A e D. Substituindo AC pela expressão do passo 4, podemos resolver para CD.

Por que esta fórmula: A soma dos segmentos AC e CD é igual a AD. Essa é a relação que liga as duas informações.

De onde vem cada valor: $AD$ = passo 3: AD = 6x · $AC$ = passo 4: AC = (7/11) · CD · $CD$ = incógnita

Passo 6 — Resolver a equação para CD

A equação do passo 5 tem apenas CD como incógnita. Vamos isolá-la para encontrar seu valor em função de x.

Por que esta fórmula: Somamos os termos com CD: (7/11)CD + CD = (18/11)CD. Depois isolamos CD dividindo ambos os lados por 18/11.

De onde vem cada valor: $6x$ = passo 3: AD = 6x · $11$ = denominador da fração 7/11 · $18$ = soma 7 + 11

Passo 7 — Calcular AC usando CD

Com CD conhecido, podemos voltar à relação AC = (7/11) · CD e encontrar AC.

Por que esta fórmula: Substituímos CD pelo valor obtido no passo 6 na relação do enunciado.

De onde vem cada valor: $\frac{7}{11}$ = enunciado · $CD$ = passo 6: CD = 11x/3

Passo 8 — Calcular BC subtraindo AB de AC

A distância BC é a diferença entre AC e AB, pois B está entre A e C. Com AB e AC conhecidos, podemos calcular BC.

Por que esta fórmula: Na reta, AC = AB + BC, então BC = AC - AB.

De onde vem cada valor: $AC$ = passo 7: AC = 7x/3 · $AB$ = passo 2: AB = x

Passo 9 — Calcular a razão AB/BC

Agora temos AB e BC em função de x. A razão pedida é a divisão de AB por BC, que resulta em um número sem x.

Por que esta fórmula: A razão é a divisão: AB/BC. Substituímos os valores e simplificamos.

De onde vem cada valor: $AB$ = passo 2: AB = x · $BC$ = passo 8: BC = 4x/3

Resposta: 3/4 (alternativa B)