GabaritoE — 6,5 m
Gabarito: letra E — a conta chega a 6,5 m — alternativa E.
Um retângulo é uma figura de quatro lados com quatro ângulos retos. A área é a medida da superfície interna, calculada multiplicando o comprimento pela largura: A = c × l. O perímetro seria a soma dos quatro lados, mas aqui pedem apenas a soma de duas dimensões adjacentes.
A área de um retângulo é o produto das duas dimensões: A = c × l. Se uma dimensão é expressa em função da outra, substituímos na fórmula da área e obtemos uma equação do segundo grau. A equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0 e é resolvida pela fórmula de Bhaskara: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O discriminante Δ = b² − 4ac indica quantas raízes reais existem; se Δ > 0, há duas raízes distintas.
Esta questão exige montar a equação a partir da relação entre as dimensões e da área, resolvê-la e descartar a raiz negativa, pois comprimento não pode ser negativo. Depois, basta somar as duas dimensões.
largura = 2 × comprimento − 1 m
área = 10 m²
O que queremos: a soma da largura com o comprimento
Precisamos de uma equação que relacione as duas dimensões. O enunciado diz que a largura é 1 m menor que o dobro do comprimento, então largura = 2 × comprimento − 1.
Por que esta fórmula: É a tradução direta da frase: 'dobro do comprimento' é 2c, '1 m menor' é subtrair 1.
De onde vem cada valor: = definição: largura do retângulo · = definição: comprimento do retângulo
Inverter a relação, escrevendo l = 2c + 1 ou c = 2l − 1. Leia com atenção: 'largura é 1 m menor que o dobro do comprimento'.
A área é conhecida (10 m²) e temos a relação entre as dimensões. Substituindo l na fórmula da área, obtemos uma equação apenas com c.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é o produto das dimensões: A = c × l. Como l = 2c − 1, substituímos.
De onde vem cada valor: = definição: comprimento do retângulo · = passo 1: largura em função do comprimento · = enunciado: área = 10 m²
Esquecer de multiplicar c por 2c e por −1, ou errar o sinal ao expandir.
Para resolver a equação do segundo grau, precisamos deixá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0.
Por que esta fórmula: Expandindo o produto e movendo todos os termos para um lado, obtemos a forma padrão.
De onde vem cada valor: = passo 2: c × 2c · = passo 2: c × (−1) · = passo 2: subtrair 10 dos dois lados
Errar o sinal ao passar o 10 para o outro lado: deve ficar −10.
O discriminante Δ = b² − 4ac nos diz quantas raízes a equação tem e é usado na fórmula de Bhaskara.
Por que esta fórmula: É a definição de discriminante para a equação ax² + bx + c = 0.
De onde vem cada valor: = passo 3: 2 · = passo 3: −1 · = passo 3: −10
Esquecer que b é negativo e calcular (−1)² como −1, ou errar o sinal de c.
Com o discriminante calculado, encontramos os valores de c que satisfazem a equação.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau: x = (−b ± √Δ) / (2a).
De onde vem cada valor: = passo 3: −1 · = passo 4: 81 · = passo 3: 2 · = passo 4: √81 = 9
c = 2,5 ou c = −2
Errar o sinal de b: como b = −1, −b = 1. Também esquecer de dividir por 2a.
Comprimento é uma medida de comprimento, não pode ser negativo. Portanto, usamos apenas c = 2,5 m.
Considerar a raiz negativa como válida, o que daria comprimento negativo e largura negativa.
Com o comprimento conhecido, usamos a relação do passo 1 para achar a largura.
Por que esta fórmula: A relação l = 2c − 1 foi dada no enunciado.
De onde vem cada valor: = passo 6: 2,5 m · = passo 6: 2 × 2,5 = 5
Errar a multiplicação ou a subtração: 2 × 2,5 = 5, menos 1 = 4.
A pergunta pede a soma das duas dimensões.
De onde vem cada valor: = passo 6: 2,5 m · = passo 7: 4 m
Somar errado ou usar a largura incorreta do passo 7.
Resposta: 6,5 m — alternativa E
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