Questão de Matemática — Equações Exponenciais — FCC 2026

Equações Exponenciais

Gabarito: letra C — o valor de x é –6,5. A resolução exige reescrever ambos os lados da equação na mesma base (8 = 2³) e igualar os expoentes, já que a função exponencial é injetora: se $a^m = a^n$, então $m = n$ (com $0 < a \neq 1$).

A equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece no expoente. Para resolvê-la, o método mais direto é transformar todos os termos em potências de uma mesma base. No caso, o lado direito é $\frac{1}{16\sqrt{2}}$, que pode ser escrito como uma potência de 2. Vamos decompor:

• $16 = 2^4$

• $\sqrt{2} = 2^{1/2}$

• Portanto, $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 2^{4 + 1/2} = 2^{9/2}$

• Assim, $\frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{9/2}} = 2^{-9/2}$

O lado esquerdo é $8^{x+5} = (2^3)^{x+5} = 2^{3(x+5)}$. Igualando as bases:

Como as bases são iguais e maiores que 1, os expoentes devem ser iguais:

Dividindo ambos os lados por 3:

Subtraindo 5 (que é $\frac{10}{2}$) de ambos os lados:

Portanto, $x = -6{,}5$, que corresponde à alternativa C.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é errar na manipulação das potências fracionárias ou esquecer de aplicar o sinal negativo do expoente quando a base está no denominador. Outro erro comum é não distribuir corretamente o expoente 3 em $3(x+5)$, o que levaria a um resultado diferente. Vamos analisar cada alternativa para fixar o raciocínio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 4,5 seria obtido se o candidato ignorasse o sinal negativo do expoente e resolvesse $3(x+5) = \frac{9}{2}$, encontrando $x = \frac{3}{2} - 5 = -3{,}5$ (que nem está nas opções) ou se cometesse erros de sinal na fração. Na verdade, o expoente do lado direito é negativo, pois a base está no denominador, o que força o resultado a ser negativo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor –5,5 surge se o candidato, após encontrar $x+5 = -\frac{1}{2}$, subtrair 5 de forma incorreta (fazendo $x = -5 - 0{,}5 = -5{,}5$). O erro está em não converter corretamente a fração: $x+5 = -\frac{3}{2}$ implica $x = -\frac{3}{2} - 5 = -\frac{13}{2} = -6{,}5$, e não –5,5.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $x = -6{,}5$. A resolução correta envolve reescrever $\frac{1}{16\sqrt{2}}$ como $2^{-9/2}$ e igualar os expoentes após converter 8 em $2^3$. O passo crítico é a fração $\frac{9}{2}$: $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 2^{9/2}$, e o inverso tem expoente negativo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 5,5 seria o resultado se o candidato ignorasse completamente o sinal negativo e resolvesse $3(x+5) = \frac{9}{2}$, obtendo $x = \frac{3}{2} - 5 = -3{,}5$ (não listado) ou se confundisse a fração e fizesse $x+5 = \frac{1}{2}$, resultando em $x = -4{,}5$ (alternativa E). O valor positivo 5,5 não tem relação com a equação, pois o lado direito é menor que 1, o que obriga o expoente a ser negativo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor –4,5 aparece se o candidato errar a decomposição de $16\sqrt{2}$: se considerar $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 2^{4{,}5}$, o expoente seria $4{,}5$, e o inverso teria expoente $-4{,}5$. Igualando $3(x+5) = -4{,}5$, teríamos $x+5 = -1{,}5$, logo $x = -6{,}5$ (que é a correta). O erro aqui é justamente não simplificar $4 + \frac{1}{2}$ para $\frac{9}{2}$ e, em vez disso, usar $4{,}5$ diretamente, o que levaria a um resultado diferente se não fosse pela coincidência de que $\frac{9}{2} = 4{,}5$. Na verdade, a alternativa E é um distrator que surge de um erro de cálculo: se o candidato fizer $3(x+5) = -\frac{9}{2}$ e depois dividir por 3 obtendo $x+5 = -\frac{3}{2}$, e então subtrair 5 de forma incorreta (fazendo $x = -5 + 0{,}5 = -4{,}5$), chegaria a –4,5. O correto é $x = -5 - 1{,}5 = -6{,}5$.

Gabarito: letra C