Questão de Matemática — Polígonos Inscritos e Circunscritos à Circunferência — FCC 2026

Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência

Gabarito: letra D — a área do retângulo EFGH é $36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$. O triângulo equilátero VEF inscrito em uma circunferência de raio 6 cm tem lado $\ell_3 = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\,\text{cm}$, que é a base do retângulo; a altura do retângulo é o dobro do apótema do triângulo, $2a_3 = 2 \cdot \frac{R}{2} = 6\,\text{cm}$. Assim, a área é $6\sqrt{3} \times 6 = 36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$.

O problema envolve um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e um retângulo cujos vértices também estão sobre essa circunferência. Para resolvê-lo, precisamos relacionar o raio da circunferência com as medidas do triângulo e do retângulo.

O que é um polígono regular inscrito?

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Quando está inscrito em uma circunferência, todos os seus vértices pertencem à circunferência, e o centro da circunferência coincide com o centro do polígono. O triângulo equilátero é um caso particular de polígono regular com 3 lados.

Relações métricas no triângulo equilátero inscrito

Para um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio $R$, valem as seguintes relações:

• Lado do triângulo: $\ell_3 = R\sqrt{3}$

• Apótema do triângulo (distância do centro ao lado): $a_3 = \frac{R}{2}$

• Altura do triângulo: $h = \frac{3R}{2}$

Essas relações vêm do fato de que o centro da circunferência circunscrita é também o baricentro do triângulo equilátero, dividindo a altura na razão 2:1. O raio $R$ corresponde a $\frac{2}{3}$ da altura, e o apótema a $\frac{1}{3}$ da altura.

Aplicando ao problema

Com $R = 6\,\text{cm}$:

• Lado do triângulo VEF: $\ell_3 = 6\sqrt{3}\,\text{cm}$

• Apótema do triângulo: $a_3 = \frac{6}{2} = 3\,\text{cm}$

• Altura do triângulo: $h = \frac{3 \times 6}{2} = 9\,\text{cm}$

O retângulo EFGH

O retângulo tem como base o lado EF do triângulo, que mede $6\sqrt{3}\,\text{cm}$. A altura do retângulo é a distância entre os lados EF e GH. Como o triângulo VEF está inscrito e o retângulo também, a altura do retângulo corresponde ao dobro do apótema do triângulo, ou seja, $2 \times 3 = 6\,\text{cm}$. Isso porque o lado GH é paralelo a EF e está a uma distância igual ao diâmetro da circunferência menos a altura do triângulo, mas geometricamente, a altura do retângulo é exatamente $2a_3$.

Cálculo da área

A área do retângulo é base × altura:

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$18\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ corresponde à metade da área correta. Esse valor seria obtido se a altura do retângulo fosse considerada como 3 cm (apenas o apótema) em vez de 6 cm (o dobro do apótema).

Alternativa B — ❌ Incorreta

$27\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ não corresponde a nenhuma combinação direta das medidas. Se a base fosse $6\sqrt{3}$ e a altura fosse 4,5 cm, teríamos esse valor, mas a altura correta é 6 cm.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$30\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ seria o resultado se a base fosse $5\sqrt{3}$ cm, o que não é o caso. A base correta é $6\sqrt{3}$ cm.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a base do retângulo é o lado do triângulo equilátero inscrito, $6\sqrt{3}$ cm, e a altura é o dobro do apótema, 6 cm. A área é $6\sqrt{3} \times 6 = 36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$39\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ seria o resultado se a base fosse $6,5\sqrt{3}$ cm, o que não corresponde a nenhuma relação métrica do triângulo equilátero inscrito.

Gabarito: letra D