GabaritoE — 2.160 cm³
Gabarito: letra E — a conta chega a 2160 cm³ — alternativa E.
Uma pirâmide é um sólido com uma base poligonal e um vértice no topo. Numa pirâmide reta de base quadrada, o vértice fica exatamente acima do centro da base, o que cria triângulos retângulos internos que permitem calcular a altura. O volume mede o espaço que ela ocupa, em centímetros cúbicos, e depende da área da base e da altura.
O volume de qualquer pirâmide é um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura: V = (1/3)·A_b·h. A altura h é a distância perpendicular do vértice ao plano da base. Para achá-la, usa-se o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pela aresta lateral (hipotenusa), a altura (um cateto) e a distância do centro da base até um vértice (outro cateto). Essa distância é metade da diagonal do quadrado, pois o centro é o ponto médio da diagonal.
Esta questão exige dois passos: primeiro calcular a altura usando a geometria da pirâmide reta, depois aplicar a fórmula do volume. O ponto crítico é reconhecer que o cateto da base do triângulo retângulo é a metade da diagonal, não a metade do lado.
lado da base quadrada = 12√5 cm
aresta lateral = 21 cm
O que queremos: o volume da pirâmide
A fórmula do volume precisa da área da base, e a base é um quadrado. A área de um quadrado é o lado ao quadrado, então calculamos isso primeiro.
Por que esta fórmula: A área de um quadrado é A = lado², pois é o produto dos dois lados iguais.
De onde vem cada valor: = enunciado: 12√5 cm
Esquecer de elevar o 5 ao quadrado: (12√5)² = 144·5 = 720, não 144·√5.
Para usar o Teorema de Pitágoras na pirâmide, precisamos da distância do centro da base até um vértice, que é metade da diagonal do quadrado. Essa distância é o cateto horizontal do triângulo retângulo.
Por que esta fórmula: A diagonal de um quadrado de lado ℓ é ℓ√2, pois divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. A metade da diagonal é essa expressão dividida por 2.
De onde vem cada valor: = passo 1: 12√5 cm
Usar a metade do lado (6√5) em vez da metade da diagonal — isso leva a uma altura errada.
Com a aresta lateral e a metade da diagonal, temos dois lados de um triângulo retângulo cujo terceiro lado é a altura. O Teorema de Pitágoras relaciona esses três lados.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo formado pela altura (h), a metade da diagonal (d/2) e a aresta lateral (L), a aresta é a hipotenusa. Então L² = h² + (d/2)².
De onde vem cada valor: = enunciado: 21 cm · = passo 2: 6√10 cm
Usar o lado da base (12√5) em vez da metade da diagonal — daria h² = 441 - 720, negativo, e o aluno perceberia o erro.
Agora temos a área da base e a altura, que são exatamente os dois ingredientes da fórmula do volume da pirâmide.
Por que esta fórmula: O volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesma base e altura, por isso o fator 1/3.
De onde vem cada valor: = passo 1: 720 cm² · = passo 3: 9 cm
Esquecer o fator 1/3 e calcular 720·9 = 6480, que não está nas alternativas.
Resposta: 2160 cm³ — alternativa E
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