Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FCC 2026

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 26 cm — alternativa E.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada porta-retrato é uma equação: a largura total é a soma da moldura (que aparece dos dois lados) com as fotografias. A moldura é a parte fixa, e cada foto adiciona uma largura constante.

A largura total de um porta-retrato é dada por L = 2m + n·f, onde m é a largura da moldura, f é a largura de uma foto e n é o número de fotos. O fator 2 aparece porque a moldura existe nos dois lados. Se você aumentar o número de fotos, a largura cresce linearmente: cada foto a mais soma f. Subtrair as equações de dois porta-retratos elimina a moldura e isola a diferença entre as fotos.

Esta questão pede para montar o sistema com os dois porta-retratos conhecidos, subtrair as equações para achar a largura de uma foto e então usar essa informação para calcular a largura do porta-retratos de duas fotos.

O que a questão dá

• largura do porta-retratos para 1 foto = 14,5 cm

• largura do porta-retratos para 3 fotos = 37,5 cm

• largura da moldura é a mesma em todos

O que queremos: a largura do porta-retratos para 2 fotos

Passo 1 — Montar as equações dos porta-retratos

Precisamos traduzir o problema em linguagem matemática. Cada porta-retrato tem uma largura total que é a soma da moldura (dos dois lados) com as fotos. Chamando a moldura de m e cada foto de f, escrevemos uma equação para o porta-retrato de 1 foto e outra para o de 3 fotos.

Por que esta fórmula: A largura total é 2m + n·f porque a moldura aparece à esquerda e à direita (por isso 2m) e cada foto contribui com f. Para 1 foto, n=1; para 3 fotos, n=3.

De onde vem cada valor: $L_n$ = enunciado: 14,5 cm (n=1) e 37,5 cm (n=3) · $m$ = definição: largura da moldura (incógnita) · $n$ = definição: número de fotos (1 ou 3) · $f$ = definição: largura de uma foto (incógnita)

Passo 2 — Subtrair as equações para eliminar a moldura

Temos duas equações com duas incógnitas (m e f). Subtrair uma da outra faz a moldura m desaparecer, sobrando apenas a diferença entre as fotos. Isso isola f, que é o que precisamos para o próximo passo.

Por que esta fórmula: Subtração de equações é um método para resolver sistemas: (2m + 3f) - (2m + 1f) = 37,5 - 14,5. Os termos 2m se cancelam, restando 2f = 23.

De onde vem cada valor: $2m + 3f$ = passo 1: equação para 3 fotos · $2m + 1f$ = passo 1: equação para 1 foto · $37{,}5$ = enunciado: largura do porta-retrato de 3 fotos · $14{,}5$ = enunciado: largura do porta-retrato de 1 foto

Passo 3 — Calcular a largura de uma foto

A equação 2f = 23 diz que duas fotos juntas têm 23 cm. Para saber o valor de uma foto, dividimos por 2. Esse valor será usado para achar a largura do porta-retratos de duas fotos.

Por que esta fórmula: Isolamos f dividindo ambos os lados por 2: f = 23/2.

De onde vem cada valor: $23$ = passo 2: resultado da subtração · $2$ = constante: coeficiente de f na equação

Passo 4 — Achar a largura do porta-retratos de duas fotos

Já sabemos a largura de uma foto. O porta-retratos de duas fotos tem a mesma moldura do de uma foto, então sua largura é a do de uma foto mais uma foto extra. Somamos 14,5 cm (largura com 1 foto) com 11,5 cm (largura de uma foto).

Por que esta fórmula: A largura com 2 fotos é 2m + 2f. Mas 2m + 1f = 14,5 (passo 1), então 2m + 2f = (2m + 1f) + f = 14,5 + f. Isso evita recalcular m.

De onde vem cada valor: $14{,}5$ = enunciado: largura do porta-retrato de 1 foto · $f$ = passo 3: 11,5 cm

Resposta: 26 cm — alternativa E