Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — FCC 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 468 atletas — alternativa B.

A ideia por trás

Uma razão compara duas quantidades: dizer que a razão entre futebol e natação é 9/4 significa que, para cada 9 atletas de futebol, há 4 de natação. Quando duas grandezas mantêm essa proporção, podemos representá-las por múltiplos de uma mesma constante: futebol = 9k e natação = 4k, onde k é o fator que escala as partes para o tamanho real do grupo.

A relação central é a proporção: se a/b = c/d, então a·d = b·c (multiplicação cruzada). Aqui, a razão inicial nos dá F/N = 9/4, e a razão após a exclusão nos dá (F−9)/(N−9) = 7/3. Como temos duas equações e duas incógnitas, podemos resolver o sistema. A constante k é útil porque transforma as duas incógnitas em uma só, simplificando a álgebra.

Esta questão pede para montar um sistema a partir das duas razões e encontrar o total. A chave é usar a constante de proporcionalidade para reduzir o problema a uma equação com uma incógnita, resolvê-la e então somar as partes.

O que a questão dá

• razão inicial futebol/natação = 9/4

• excluem-se 9 atletas de cada modalidade

• razão após exclusão = 7/3

O que queremos: o total de atletas antes da exclusão

Passo 1 — Representar as quantidades com uma constante

Como a razão inicial é 9/4, sabemos que o número de atletas de futebol é um múltiplo de 9 e o de natação é o mesmo múltiplo de 4. Chamar esse múltiplo de k transforma duas incógnitas (F e N) em uma só, o que torna a equação seguinte mais simples.

Por que esta fórmula: Se F/N = 9/4, então F = 9k e N = 4k, pois multiplicar ambos os termos da razão por k preserva a proporção.

De onde vem cada valor: $9$ = enunciado: razão inicial 9/4 · $4$ = enunciado: razão inicial 9/4 · $k$ = constante: fator de proporcionalidade

Passo 2 — Montar a equação após a exclusão

A segunda informação do enunciado relaciona as quantidades depois de retirar 9 de cada grupo. Substituir F e N pelas expressões com k nessa nova razão é o que permite encontrar o valor de k.

Por que esta fórmula: Após excluir 9 de cada, o número de futebolistas é F−9 = 9k−9 e o de nadadores é N−9 = 4k−9. A razão entre eles é 7/3, então montamos a proporção (9k−9)/(4k−9) = 7/3.

De onde vem cada valor: $9k$ = passo 1: F = 9k · $4k$ = passo 1: N = 4k · $9$ = enunciado: excluem-se 9 atletas de cada · $7/3$ = enunciado: razão após exclusão

Passo 3 — Resolver a equação para achar k

Com a equação montada, o próximo passo é isolar k. Multiplicar cruzado elimina as frações e transforma a proporção em uma equação linear simples.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aplicando isso, obtemos 3(9k−9) = 7(4k−9). Depois distribuímos e isolamos k.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: denominador da razão 7/3 · $9k - 9$ = passo 2: numerador da razão após exclusão · $7$ = enunciado: numerador da razão 7/3 · $4k - 9$ = passo 2: denominador da razão após exclusão

Passo 4 — Calcular o número de atletas de cada modalidade

Com k = 36, voltamos às expressões do passo 1 para obter as quantidades reais de futebolistas e nadadores antes da exclusão.

Por que esta fórmula: Substituímos k nas fórmulas F = 9k e N = 4k.

De onde vem cada valor: $9$ = passo 1: coeficiente de F · $36$ = passo 3: valor de k · $4$ = passo 1: coeficiente de N

F = 324, N = 144

Passo 5 — Somar as partes para obter o total

A pergunta pede o total de atletas antes da exclusão, que é a soma dos que treinam futebol e natação.

Por que esta fórmula: Total = F + N. Como F = 9k e N = 4k, o total é 13k, mas aqui usamos os valores já calculados.

De onde vem cada valor: $F$ = passo 4: 324 · $N$ = passo 4: 144

Resposta: 468 atletas — alternativa B