Questão de Matemática — Geral — FCC 2026

Teste Qui-Quadrado de Independência

Gabarito: letra B. O teste qui-quadrado de independência, com tabela de contingência de 2 linhas × 3 colunas, tem graus de liberdade $k = (2-1) \times (3-1) = 2$. O valor observado da estatística é $\chi^2_{obs} = 33{,}33$. Para rejeitar a hipótese nula de independência, precisamos que $\chi^2_{obs}$ seja maior que o valor crítico tabelado. A alternativa B afirma que rejeitamos $H_0$ pois $\chi^2_{obs} > 10{,}597$ — e esse é exatamente o valor crítico para 2 graus de liberdade ao nível de significância de 0,5% (ou 0,005), conforme a tabela fornecida. Como $33{,}33 > 10{,}597$, rejeitamos a hipótese nula.

O teste qui-quadrado de independência é usado para verificar se duas variáveis categóricas são independentes entre si. A hipótese nula ($H_0$) afirma que as variáveis são independentes; a hipótese alternativa ($H_1$) afirma que há associação (dependência) entre elas. A estatística de teste é calculada comparando as frequências observadas ($O_{ij}$) com as frequências esperadas ($E_{ij}$) sob a hipótese de independência, usando a fórmula:

As frequências esperadas são calculadas como:

Nesta questão, a tabela de contingência é:

O número de graus de liberdade é dado por $k = (L-1) \times (C-1)$, onde $L$ é o número de linhas e $C$ o número de colunas. Aqui, $L = 2$ e $C = 3$, então $k = (2-1) \times (3-1) = 1 \times 2 = 2$.

A regra de decisão é: se $\chi^2_{obs} > \chi^2_{crítico}$ (valor tabelado para o nível de significância e graus de liberdade), rejeitamos $H_0$; caso contrário, não rejeitamos $H_0$. O valor observado $\chi^2_{obs} = 33{,}33$ é bem alto, indicando grande discrepância entre o observado e o esperado sob independência.

A tabela da distribuição qui-quadrado fornecida na questão (imagem) traz valores críticos para diferentes níveis de significância e graus de liberdade. Precisamos identificar o valor crítico para $k = 2$ graus de liberdade. A alternativa B menciona o valor 10,597, que corresponde ao valor crítico para 2 graus de liberdade com nível de significância de 0,5% (ou 0,005). Como $33{,}33 > 10{,}597$, rejeitamos a hipótese nula.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que não se rejeita $H_0$ porque $\chi^2_{obs}$ é menor que duas vezes 18,548. Isso está errado por dois motivos: primeiro, o valor crítico não é "duas vezes 18,548"; segundo, $\chi^2_{obs} = 33{,}33$ é maior que 10,597, então rejeitamos $H_0$. O valor 18,548 seria o crítico para 3 graus de liberdade (se existisse na tabela), mas não se aplica aqui.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Rejeita-se a hipótese nula, pois $\chi^2_{obs} = 33{,}33$ é maior que 10,597. Este é o valor crítico para 2 graus de liberdade ao nível de significância de 0,5% (0,005), conforme a tabela fornecida. Como a estatística observada excede o valor crítico, há evidência suficiente para rejeitar a independência entre o tipo de indústria e o pagamento tempestivo dos impostos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que se rejeita $H_0$ porque $\chi^2_{obs}$ é maior que duas vezes 7,879. O valor 7,879 é o crítico para 1 grau de liberdade (a 0,5%), não para 2. Multiplicar por dois não é o procedimento correto. O valor crítico para $k=2$ é 10,597, não 15,758 (2 × 7,879).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que se rejeita $H_0$ porque $\chi^2_{obs}$ é maior que 7,879. Embora a conclusão (rejeitar $H_0$) esteja correta, o valor crítico 7,879 corresponde a 1 grau de liberdade, não a 2. O valor crítico correto para $k=2$ é 10,597. A alternativa usa o valor errado, então está incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que se rejeita $H_0$ porque $\chi^2_{obs}$ é maior que 16,750. O valor 16,750 não corresponde ao valor crítico para 2 graus de liberdade em nenhum nível de significância comum (seria para $k=3$ a 0,1%, por exemplo). O valor crítico correto é 10,597. Embora a conclusão de rejeitar $H_0$ seja verdadeira, o valor crítico citado está errado.

Gabarito: letra B