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Questão de Matemática — Geral — FCC 2026

MatemáticaGeral
Código
fc140869
Banca
FCC
Órgão
CM Pres Prudente
Ano
2026
Cargo
CI (CM P Prudente)
Um terreno com 5.225 m^2 de área foi preparado para uma determinada plantação por 3 pessoas. O terreno foi dividido entre essas pessoas em partes inversamente proporcionais às suas idades em meses. A pessoa mais velha entre as três preparou 1.260 m^2 do terreno. A pessoa mais nova tem uma idade que corresponde a 6/7 da idade da segunda pessoa mais nova.   Sabendo que a diferença das idades das duas pessoas mais velhas, em meses, é igual 171, a idade da pessoa mais velha desse grupo, em meses, está compreendida entre
  1. A600 e 650
  2. B650 e 700
  3. C450 e 500
  4. D500 e 550
  5. E550 e 600
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 500 e 550

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 549 meses, que está entre 500 e 550 — alternativa D.

A ideia por trás

Quando uma quantidade é dividida em partes inversamente proporcionais a certos números, cada parte é proporcional ao inverso desses números. Ou seja, quanto maior o número (aqui, a idade), menor a parte recebida. A constante de proporcionalidade é a mesma para todos, e a soma das partes é o total dividido.

Se as partes são inversamente proporcionais a x, y, z, então existe uma constante k tal que parte · x = k, parte · y = k, parte · z = k. Isso permite montar igualdades entre os produtos das partes pelos respectivos números. Além disso, a soma das partes é o total, e a soma dos inversos dos números aparece quando se usa a propriedade da soma em proporções.

A questão pede para combinar a divisão inversamente proporcional com relações entre as idades, montando um sistema que leva à idade da mais velha.

O que a questão dá

  • área total = 5.225 m²

  • área da pessoa mais velha = 1.260 m²

  • idade da mais nova = 6/7 da idade da segunda mais nova

  • diferença entre as idades das duas mais velhas = 171 meses

O que queremos: a idade da pessoa mais velha, em meses

Passo 1 — Calcular a área das outras duas pessoas

Precisamos saber quanto as outras duas pessoas prepararam juntas, pois isso será usado na proporção. A área total é 5.225 m² e a mais velha preparou 1.260 m², então o restante é a soma das áreas das outras duas.

Por que esta fórmula: Subtração simples: área total menos a área da mais velha.

Aoutras=Atotal−AvelhaA_{outras} = A_{total} - A_{velha}

De onde vem cada valor: AtotalA_{total} = enunciado: 5.225 m² · AvelhaA_{velha} = enunciado: 1.260 m²

Aoutras=5225−1260=3.965 m2A_{outras} = 5225 - 1260 = \boxed{3.965\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 5.225 como área das outras.

Passo 2 — Montar a proporção inversa com as idades

A divisão é inversamente proporcional às idades, então o produto da área pela idade é constante. Isso nos dá uma equação que relaciona as áreas e as idades.

Por que esta fórmula: Se as áreas são inversamente proporcionais às idades, então área × idade = constante. Para a mais velha, isso é 1260 · x, e para as outras, A_y · y e A_z · z, todos iguais a k.

1260⋅x=Ay⋅y=Az⋅z=k1260 \cdot x = A_y \cdot y = A_z \cdot z = k

De onde vem cada valor: 12601260 = enunciado: área da mais velha · xx = definição: idade da mais velha (incógnita) · AyA_y = definição: área da segunda mais velha (incógnita) · yy = definição: idade da segunda mais velha (incógnita) · AzA_z = definição: área da mais nova (incógnita) · zz = definição: idade da mais nova (incógnita)

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a proporção, achando que área é proporcional à idade.

Passo 3 — Usar a soma das áreas na proporção

Temos a soma das áreas (5.225) e a soma dos inversos das idades. A propriedade da soma em proporções diz que a soma das áreas dividida pela soma dos inversos também é igual a k. Isso nos dá uma equação com as idades.

Por que esta fórmula: Em uma proporção, a soma dos numeradores dividida pela soma dos denominadores é igual à constante. Aqui, os numeradores são as áreas e os denominadores são os inversos das idades.

k=52251x+1y+1zk = \frac{5225}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}

De onde vem cada valor: 52255225 = enunciado: área total · xx = definição: idade da mais velha · yy = definição: idade da segunda mais velha · zz = definição: idade da mais nova

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma dos inversos é no denominador.

Passo 4 — Expressar as idades em função de y

Temos duas relações: z = (6/7)y e x - y = 171. Para resolver o sistema, precisamos de uma única variável. Vamos escrever x e z em termos de y.

Por que esta fórmula: Substituição direta das relações dadas.

x=y+171,z=67yx = y + 171, \quad z = \frac{6}{7}y

De onde vem cada valor: yy = definição: idade da segunda mais velha · 171171 = enunciado: diferença entre as idades das duas mais velhas · 67\frac{6}{7} = enunciado: relação entre a mais nova e a segunda mais nova

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a relação: a mais nova é 6/7 da segunda mais nova, não o contrário.

Passo 5 — Igualar as duas expressões de k

Temos k = 1260·x e k = 5225/(1/x + 1/y + 1/z). Igualando, obtemos uma equação com y. Vamos substituir x e z.

Por que esta fórmula: Igualdade de duas expressões para a mesma constante.

1260(y+171)=52251y+171+1y+76y1260(y+171) = \frac{5225}{\frac{1}{y+171} + \frac{1}{y} + \frac{7}{6y}}

De onde vem cada valor: 12601260 = passo 2: área da mais velha · y+171y+171 = passo 4: x · 52255225 = enunciado: área total · 1y+171\frac{1}{y+171} = passo 4: inverso de x · 1y\frac{1}{y} = passo 4: inverso de y · 76y\frac{7}{6y} = passo 4: inverso de z, pois z = (6/7)y

NÃO CAIA NESSA!

Errar o inverso de z: 1/(6/7 y) = 7/(6y).

Passo 6 — Simplificar a equação

Vamos simplificar o denominador do lado direito e depois multiplicar para resolver a equação. Isso nos leva a uma equação linear em y.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: colocar 1/y em evidência e depois multiplicar cruzado.

1260(y+171)(yy+171+136)=5225y1260(y+171) \left( \frac{y}{y+171} + \frac{13}{6} \right) = 5225y

De onde vem cada valor: 1260(y+171)1260(y+171) = passo 5: lado esquerdo · yy+171+136\frac{y}{y+171} + \frac{13}{6} = passo 5: denominador simplificado: 1/(y+171) + 1/y + 7/(6y) = (1/y)(y/(y+171) + 1 + 7/6) = (1/y)(y/(y+171) + 13/6)

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 1 + 7/6 = 13/6.

Passo 7 — Resolver a equação para y

Agora temos uma equação linear. Vamos expandir e isolar y.

Por que esta fórmula: Distributiva e isolamento da incógnita.

1260y+2730(y+171)=5225y1260y + 2730(y+171) = 5225y

De onde vem cada valor: 1260y1260y = passo 6: 1260(y+171) · y/(y+171) · 2730(y+171)2730(y+171) = passo 6: 1260(y+171) · 13/6 = 210·13·(y+171) = 2730(y+171) · 5225y5225y = passo 6: lado direito

1260y+2730y+2730⋅171=5225y1260y + 2730y + 2730 \cdot 171 = 5225y
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 2730·171.

Passo 8 — Calcular a idade da segunda mais velha

Com a equação do passo anterior, isolamos y para descobrir a idade da segunda mais velha.

Por que esta fórmula: Isolamento de y na equação linear.

y=2730⋅1715225−1260−2730y = \frac{2730 \cdot 171}{5225 - 1260 - 2730}

De onde vem cada valor: 2730⋅1712730 \cdot 171 = passo 7: termo constante · 5225−1260−27305225 - 1260 - 2730 = passo 7: coeficiente de y: 5225 - 1260 - 2730 = 1235

y=2730⋅1711235y = \frac{2730 \cdot 171}{1235}
y=378 mesesy = \boxed{378\ \text{meses}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração no denominador.

Passo 9 — Obter a idade da mais velha

A mais velha tem x = y + 171. Com y = 378, somamos.

Por que esta fórmula: Relação dada no enunciado.

x=y+171x = y + 171

De onde vem cada valor: yy = passo 8: 378 meses · 171171 = enunciado: diferença

x=378+171=549 mesesx = 378 + 171 = \boxed{549\ \text{meses}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 171.

Resposta: 549 meses, que está entre 500 e 550 — alternativa D

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