Certo dia, em um hotel, estavam hospedadas 272 pessoas e foram oferecidas 3 atividades para esses hóspedes: massagem, caminhada e ioga. Quem escolheu massagem não escolheu outra atividade. O número de pessoas que escolheram caminhada excedeu em 11 o número de pessoas que escolheram as outras duas atividades. O número de pessoas que escolheram ioga foi o triplo do número de pessoas que escolheram massagem. No total, 25 hóspedes não participaram de atividade alguma. Sabendo que 151 pessoas escolheram caminhada, o algarismo das unidades do número de pessoas que fizeram massagem foi
A8
B4
C5
D1
E9
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GabaritoC — 5
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a O algarismo das unidades é 4 — alternativa B.
A ideia por trás
Um sistema de equações é um conjunto de relações que precisam valer ao mesmo tempo. Aqui, cada frase do enunciado vira uma equação com as incógnitas M (massagem), C (caminhada) e I (ioga). Como as atividades são exclusivas (quem fez massagem não fez outra), a soma M + C + I é o total de participantes.
A relação central é a de que o total de participantes é a soma das três atividades, e que as frases 'excedeu em 11' e 'triplo' se traduzem em equações: C = M + I + 11 e I = 3M. Quando uma incógnita é dada (C = 151), substituímos para reduzir o sistema a uma equação só com M.
Esta questão cobra a montagem e resolução de um sistema linear simples. O passo crucial é traduzir corretamente a frase 'excedeu em 11' e depois substituir os valores para achar M.
O que a questão dá
total de hóspedes = 272
hóspedes que não participaram = 25
pessoas que escolheram caminhada = 151
caminhada excede as outras duas em 11
ioga é o triplo da massagem
O que queremos: o algarismo das unidades do número de pessoas que fizeram massagem
Passo 1 — Calcular o total de participantes
O total de hóspedes inclui quem não fez nada. Para saber quantos participaram de alguma atividade, subtraímos os 25 que não participaram. Esse total será a soma das três atividades.
Por que esta fórmula: Total de participantes = total de hóspedes - não participantes.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de hóspedes · = enunciado: não participaram
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair os 25 e usar 272 como total de participantes.
Passo 2 — Montar a equação da soma das atividades
Como cada pessoa participou de no máximo uma atividade, o total de participantes é a soma dos que fizeram cada uma. Isso liga as três incógnitas.
Por que esta fórmula: A soma das partes é o todo, já que não há interseção.
De onde vem cada valor: = definição: número de pessoas que fizeram massagem · = definição: número de pessoas que fizeram caminhada · = definição: número de pessoas que fizeram ioga · = passo 1: 247
NÃO CAIA NESSA!
Achar que há interseção entre as atividades, mas o enunciado garante que não há.
Passo 3 — Substituir o valor de C na equação
O enunciado já dá C = 151. Colocando esse número na equação do passo 2, ficamos com uma equação só com M e I.
Por que esta fórmula: Substituição direta do valor conhecido.
De onde vem cada valor: = definição: número de pessoas que fizeram massagem · = enunciado: C = 151 · = definição: número de pessoas que fizeram ioga · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir o 151 na soma.
Passo 4 — Isolar M + I
Precisamos de uma relação entre M e I. Subtraindo 151 dos dois lados, obtemos M + I = 96.
Por que esta fórmula: Para isolar a soma, subtraímos o mesmo valor dos dois lados da equação.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: C = 151
NÃO CAIA NESSA!
Fazer 247 + 151 em vez de subtrair.
Passo 5 — Usar a relação entre I e M
O enunciado diz que a ioga teve o triplo da massagem, ou seja, I = 3M. Isso permite substituir I na equação anterior e ficar só com M.
Por que esta fórmula: A frase 'triplo' vira uma igualdade direta.
De onde vem cada valor: = definição: número de pessoas que fizeram ioga · = definição: número de pessoas que fizeram massagem
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a relação, escrevendo M = 3I.
Passo 6 — Substituir I na equação M + I = 96
Com I = 3M, a equação do passo 4 vira M + 3M = 96, que é uma equação só com M.
Por que esta fórmula: Substituição da expressão de I.
De onde vem cada valor: = definição: número de pessoas que fizeram massagem · = passo 5: I = 3M · = passo 4
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar os coeficientes de M.
Passo 7 — Resolver a equação para M
Agora é só álgebra: 4M = 96, então M = 24. Esse é o número de pessoas que fizeram massagem.
Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados por 4, isolamos M.
De onde vem cada valor: = passo 6 · = constante: coeficiente de M na equação 4M = 96
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 96 por 3 em vez de 4.
Passo 8 — Extrair o algarismo das unidades
A pergunta pede o algarismo das unidades de M. O número 24 tem unidade 4.
Por que esta fórmula: O algarismo das unidades é o último dígito do número.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir com o algarismo das dezenas (2).
Resposta: O algarismo das unidades é 4 — alternativa B