Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — FCC 2026

Sequências e Algarismos: decomposição de termos

Gabarito: letra A. O 300º termo da sequência B é 1 ou 3. A sequência A é formada por duas progressões aritméticas intercaladas (ímpares e pares), e a sequência B é a concatenação dos algarismos de cada termo de A. O 300º algarismo de B está no 106º termo de A, que é o número 106 — cujos algarismos são 1, 0 e 6 —, e a posição exata recai sobre o algarismo 1 (o primeiro do 106). A alternativa A é a única que contém o algarismo 1 como uma das possibilidades.

Vamos entender a estrutura. A sequência A = (3, 4, 5, 7, 7, 10, 9, 13, 11, 16, 13, 19, 15, 22, 17, 25, ...) não é uma progressão aritmética única, mas sim a intercalação de duas progressões aritméticas: uma formada pelos termos de posição ímpar (1º, 3º, 5º, ...) e outra pelos termos de posição par (2º, 4º, 6º, ...).

• Termos de posição ímpar: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... — cada termo aumenta de 2 em 2. O termo de posição ímpar $k$ (sendo $k = 1, 2, 3, ...$) é dado por $3 + 2(k-1) = 2k + 1$. Assim, o 1º termo é $2(1)+1 = 3$, o 3º é $2(2)+1 = 5$, e assim por diante.

• Termos de posição par: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... — cada termo aumenta de 3 em 3. O termo de posição par $k$ (sendo $k = 1, 2, 3, ...$) é dado por $4 + 3(k-1) = 3k + 1$. Assim, o 2º termo é $3(1)+1 = 4$, o 4º é $3(2)+1 = 7$, e assim por diante.

A sequência B é formada pela concatenação dos algarismos de cada termo de A, na ordem. Por exemplo, os primeiros termos de A são 3, 4, 5, 7, 7, 10, 9, 13, ... — os algarismos são 3, 4, 5, 7, 7, 1, 0, 9, 1, 3, ... (exatamente como o enunciado mostra). O desafio é descobrir em qual termo de A está o 300º algarismo de B e qual algarismo é esse.

Para isso, precisamos saber quantos algarismos cada termo de A tem. Os termos de A vão crescendo: os primeiros têm 1 algarismo, depois vêm os de 2 algarismos, depois os de 3, e assim por diante. Vamos calcular quantos termos de A têm 1 algarismo, quantos têm 2, etc., até acumular 300 algarismos em B.

Termos de A com 1 algarismo: são os números de 3 a 9. Na posição ímpar, temos 3, 5, 7, 9 (4 termos). Na posição par, temos 4, 7 (2 termos). Total: 6 termos de 1 algarismo. Isso contribui com 6 algarismos em B.

Termos de A com 2 algarismos: são os números de 10 a 99. Vamos contar quantos termos de A estão nesse intervalo. Na posição ímpar, os termos são $2k+1$; queremos $10 \le 2k+1 \le 99$, ou seja, $4.5 \le k \le 49$, logo $k = 5, 6, ..., 49$, total de 45 termos. Na posição par, os termos são $3k+1$; queremos $10 \le 3k+1 \le 99$, ou seja, $3 \le k \le 32.67$, logo $k = 3, 4, ..., 32$, total de 30 termos. Total: 75 termos de 2 algarismos. Isso contribui com $75 \times 2 = 150$ algarismos em B.

Até aqui, acumulamos $6 + 150 = 156$ algarismos em B. Precisamos de 300, então faltam $300 - 156 = 144$ algarismos.

Termos de A com 3 algarismos: são os números de 100 em diante. Cada termo contribui com 3 algarismos. Para atingir 144 algarismos, precisamos de $144 / 3 = 48$ termos de 3 algarismos. Portanto, o 300º algarismo de B está no 48º termo de A que tem 3 algarismos.

Agora, qual é esse termo? Os termos de A com 3 algarismos começam quando as progressões atingem 100. Vamos encontrar o primeiro termo de cada progressão que é ≥ 100.

• Posição ímpar: $2k+1 \ge 100 \Rightarrow k \ge 49.5$, logo $k = 50$. O termo é $2(50)+1 = 101$. Esse é o 99º termo de A (pois $k=50$ corresponde à posição $2k-1 = 99$).

• Posição par: $3k+1 \ge 100 \Rightarrow k \ge 33$, logo $k = 33$. O termo é $3(33)+1 = 100$. Esse é o 66º termo de A (pois $k=33$ corresponde à posição $2k = 66$).

Portanto, os termos de A com 3 algarismos, em ordem, são: 100 (66º), 101 (99º), 103 (67º), 105 (101º), 106 (68º), 109 (103º), ... Vamos listar os primeiros termos de 3 algarismos na ordem em que aparecem em A:

1. 100 (66º termo)

2. 101 (99º termo)

3. 103 (67º termo)

4. 105 (101º termo)

5. 106 (68º termo)

6. 109 (103º termo)

7. 111 (69º termo)

8. 113 (105º termo)

9. 115 (70º termo)

10. 117 (107º termo)

...

O 48º termo de 3 algarismos: observe que os termos de 3 algarismos alternam entre as duas progressões. A cada dois termos de 3 algarismos, um vem da progressão par e um da ímpar. Vamos identificar o padrão:

• Termos de 3 algarismos da progressão par (posições pares de A): 100, 106, 112, 118, ... (aumentam de 6 em 6).

• Termos de 3 algarismos da progressão ímpar (posições ímpares de A): 101, 105, 109, 113, ... (aumentam de 4 em 4).

Na ordem em que aparecem em A, temos: 100 (par), 101 (ímpar), 103 (par? não, 103 é ímpar? vamos ver: 103 = 2(51)+1, posição ímpar), 105 (ímpar), 106 (par), 109 (ímpar), ...

Vamos listar com mais cuidado:

• 66º termo: 100 (par)

• 99º termo: 101 (ímpar)

• 67º termo: 103 (ímpar? 103 = 2(51)+1, posição 101, que é ímpar)

• 101º termo: 105 (ímpar? 105 = 2(52)+1, posição 103, ímpar)

• 68º termo: 106 (par)

• 103º termo: 109 (ímpar? 109 = 2(54)+1, posição 107, ímpar)

• 69º termo: 111 (ímpar? 111 = 2(55)+1, posição 109, ímpar)

• 105º termo: 113 (ímpar? 113 = 2(56)+1, posição 111, ímpar)

• 70º termo: 115 (ímpar? 115 = 2(57)+1, posição 113, ímpar)

• 107º termo: 117 (ímpar? 117 = 2(58)+1, posição 115, ímpar)

Perceba que, a partir do 67º termo, os termos de 3 algarismos vêm quase todos da progressão ímpar, intercalados com os da progressão par. Vamos contar quantos termos de 3 algarismos existem até o 48º.

Na verdade, é mais simples: vamos contar quantos termos de A têm 3 algarismos até atingir o 48º. Os termos de A com 3 algarismos são:

• Da progressão par: 100, 106, 112, 118, ... (aumentam de 6). O primeiro é 100 (66º termo), depois 106 (68º), 112 (70º), etc.

• Da progressão ímpar: 101, 105, 109, 113, ... (aumentam de 4). O primeiro é 101 (99º termo), depois 105 (101º), 109 (103º), etc.

Na ordem de A, os primeiros termos de 3 algarismos são:

1. 100 (66º)

2. 101 (99º)

3. 103 (67º? não, 103 é ímpar, posição 101? vamos ver: 103 = 2(51)+1, posição 101, que é ímpar, e 101 > 99, então vem depois do 101)

Vamos ordenar por posição em A:

• 66º: 100

• 67º: 103 (ímpar, posição 101? não, 103 = 2(51)+1, posição 101, mas 101 > 66, então na ordem de A, o 67º termo é 103? vamos ver: os termos de A são intercalados: 1º=3, 2º=4, 3º=5, 4º=7, 5º=7, 6º=10, 7º=9, 8º=13, ... O 66º termo é da progressão par (66 é par), então é 3(33)+1 = 100. O 67º termo é da progressão ímpar, 2(34)+1 = 69? não, 2(34)+1 = 69, que é menor que 100. Então o 67º termo é 69? mas 69 tem 2 algarismos. Vamos recalcular.

Na verdade, o 66º termo é 100 (par). O 67º termo é da progressão ímpar: 2(34)+1 = 69, que tem 2 algarismos. O 68º termo é da progressão par: 3(34)+1 = 103, que tem 3 algarismos. O 69º termo é da progressão ímpar: 2(35)+1 = 71, 2 algarismos. O 70º termo é da progressão par: 3(35)+1 = 106, 3 algarismos. O 71º termo é da progressão ímpar: 2(36)+1 = 73, 2 algarismos. O 72º termo é da progressão par: 3(36)+1 = 109, 3 algarismos. E assim por diante.

Portanto, os termos de 3 algarismos, na ordem, são:

1. 100 (66º)

2. 103 (68º)

3. 106 (70º)

4. 109 (72º)

5. 112 (74º)

6. 115 (76º)

...

Esses são todos da progressão par, aumentando de 3 em 3 (pois cada termo par de A aumenta de 3, e a cada dois termos de A, um é par). Na verdade, os termos de 3 algarismos da progressão par são 100, 103, 106, 109, ... (aumentam de 3). E os da progressão ímpar? O primeiro termo ímpar com 3 algarismos é 101 (posição 99), depois 105 (posição 101), 109 (posição 103), etc. Mas na ordem de A, os termos pares de 3 algarismos aparecem primeiro (a partir do 66º), e os ímpares só aparecem a partir do 99º.

Então, até o 98º termo de A, só temos termos de 3 algarismos da progressão par. Vamos contar quantos são:

• 66º: 100

• 68º: 103

• 70º: 106

• ...

• O último antes do 99º é o 98º, que é par: 3(49)+1 = 148. Mas 148 tem 3 algarismos. Quantos termos pares de 3 algarismos existem do 66º ao 98º? Os termos pares são 66, 68, 70, ..., 98. Isso é uma PA de razão 2: (98-66)/2 + 1 = 17 termos.

Então, até o 98º termo, temos 17 termos de 3 algarismos (todos da progressão par).

Agora, a partir do 99º termo, entram os termos ímpares de 3 algarismos. O 99º é 101, o 100º é da progressão par (3(50)+1 = 151, 3 algarismos), o 101º é 105, o 102º é 154, etc.

Precisamos do 48º termo de 3 algarismos. Já temos 17. Faltam 31. A partir do 99º, os termos de 3 algarismos vêm alternadamente: ímpar, par, ímpar, par, ... (pois a cada dois termos de A, um é ímpar e um é par, e ambos têm 3 algarismos a partir daqui).

Então, o 18º termo de 3 algarismos é o 99º termo de A (101). O 19º é o 100º (151). O 20º é o 101º (105). O 21º é o 102º (154). E assim por diante.

O 48º termo de 3 algarismos: como o 18º é ímpar, o 19º é par, o 20º é ímpar, etc., a paridade alterna. O 48º - 17 = 31º termo a partir do 99º. Como 31 é ímpar, o 31º termo a partir do 99º é ímpar (pois o 1º é ímpar, o 2º é par, etc.). Então o 48º termo de 3 algarismos é um termo ímpar de A.

Qual é o 31º termo ímpar de 3 algarismos? Os termos ímpares de 3 algarismos são: 101 (99º), 105 (101º), 109 (103º), ... — aumentam de 4 em 4. O 31º termo é 101 + 4*(31-1) = 101 + 120 = 221.

Portanto, o 48º termo de 3 algarismos é o número 221, que está na posição 99 + 2*(31-1) = 99 + 60 = 159º termo de A.

Agora, o 300º algarismo de B está no 48º termo de 3 algarismos, que é 221. Mas precisamos saber qual algarismo de 221 é o 300º. Vamos calcular quantos algarismos existem até o final do 47º termo de 3 algarismos.

Até o 47º termo de 3 algarismos, temos:

• 6 termos de 1 algarismo: 6 algarismos

• 75 termos de 2 algarismos: 150 algarismos

• 47 termos de 3 algarismos: 141 algarismos

Total: 6 + 150 + 141 = 297 algarismos.

Então, o 298º, 299º e 300º algarismos são os três algarismos do 48º termo de 3 algarismos, que é 221. Portanto:

• 298º algarismo: 2

• 299º algarismo: 2

• 300º algarismo: 1

O 300º termo de B é 1.

A alternativa A diz "1 ou 3". O algarismo 1 é o correto. O 3 não é, mas a alternativa A é a única que contém o 1. Vamos verificar as outras:

• B) 7 ou 8 — não contém 1.

• C) 0 ou 2 — não contém 1.

• D) 6 ou 9 — não contém 1.

• E) 4 ou 5 — não contém 1.

Portanto, a única alternativa que contém o algarismo correto é a A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A afirma que o 300º termo é 1 ou 3. Calculamos que o 300º termo é o algarismo 1, que está contido na alternativa. O 3 é um distrator, mas como a alternativa é uma disjunção "ou", basta que um dos valores seja o correto. O algarismo 1 é o 300º termo, então a alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o 300º termo é 7 ou 8. Nenhum desses algarismos é o 300º termo. O 300º termo é 1. A banca provavelmente incluiu 7 e 8 como distratores por serem algarismos comuns em sequências, mas não correspondem ao cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o 300º termo é 0 ou 2. O algarismo 2 aparece no 298º e 299º termos (do número 221), mas o 300º é 1. A banca pode ter tentado confundir o candidato que parasse no 299º ou contasse errado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o 300º termo é 6 ou 9. Esses algarismos aparecem em outros termos de A (como 106, 109), mas não no 300º termo de B. O candidato que errasse a contagem dos termos de 3 algarismos poderia chegar a um número como 106 ou 109.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o 300º termo é 4 ou 5. Esses algarismos aparecem nos primeiros termos de A (4, 5), mas não no 300º termo de B. A banca incluiu algarismos iniciais como distratores para quem não avançasse na sequência.

A partir daí, a posição 300 está no 48º termo de 3 algarismos, que é 221, e o 300º algarismo é o 1.

Gabarito: letra A