Questão de Matemática — Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Números Naturais — FCC 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 9 carros — alternativa C.

A ideia por trás

Este é um problema de contagem com restrições: temos três quantidades inteiras positivas (a, b, c) que precisam somar 22 e obedecer a duas condições de ordem. A ideia é encontrar o maior valor possível para a do meio, respeitando todas as regras ao mesmo tempo.

As três condições são: a + b + c = 22, a < b < c e c < a + b. A primeira é a soma total; a segunda diz que a produção aumenta a cada semana; a terceira limita a última semana a ser menor que a soma das duas primeiras. Combinando a primeira e a terceira, obtemos a + b > 11, pois c = 22 - (a+b) e c < a+b implica 22 - (a+b) < a+b, logo a+b > 11.

Para achar o máximo de b, testamos os valores possíveis de b de forma decrescente, verificando se existe a e c que satisfaçam todas as condições. O maior b que funciona é a resposta.

O que a questão dá

• total de carros produzidos = 22

• produção crescente: a < b < c

• terceira semana menor que a soma das duas primeiras: c < a + b

O que queremos: o número máximo de carros fabricados na segunda semana (b)

Passo 1 — Escrever as condições do problema

Precisamos organizar as informações antes de qualquer conta. As três condições são: a soma total, o crescimento estrito e a restrição da terceira semana. Vamos chamar as produções de a, b e c.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é a tradução do enunciado em equações e inequações.

De onde vem cada valor: $a$ = definição: produção da primeira semana · $b$ = definição: produção da segunda semana · $c$ = definição: produção da terceira semana

Passo 2 — Combinar a soma e a restrição da terceira

A condição c < a+b envolve c, mas queremos eliminar c para obter uma relação só com a e b. Como a+b+c = 22, podemos substituir c por 22 - (a+b).

Por que esta fórmula: Substituindo c na inequação, obtemos uma condição mais simples que limita a soma das duas primeiras semanas.

De onde vem cada valor: $22$ = enunciado: total de carros · $a+b$ = definição: soma das produções da primeira e segunda semanas

Passo 3 — Limitar o valor máximo de b

Sabemos que a+b > 11 e que a < b. Para maximizar b, precisamos saber até onde ele pode ir. Como a ≥ 1 e c > b, temos a + b + c ≥ 1 + b + (b+1) = 2b + 2. Como o total é 22, isso dá 2b + 2 ≤ 22, logo b ≤ 10.

Por que esta fórmula: Essa é uma estimativa do maior valor possível de b, usando o fato de que a é pelo menos 1 e c é pelo menos b+1.

De onde vem cada valor: $2b + 2$ = definição: mínimo de a + b + c com a ≥ 1 e c ≥ b+1 · $22$ = enunciado: total

Passo 4 — Testar b = 10

Como b ≤ 10, o candidato a máximo é 10. Precisamos verificar se existe a e c que satisfaçam todas as condições. Se b = 10, então a < 10 e c > 10, e a + c = 12. O menor c possível é 11, o que daria a = 1. Verificamos a condição c < a+b: 11 < 1+10 = 11, que é falso. Portanto, b = 10 não funciona.

Por que esta fórmula: Testamos o valor máximo e vemos se as condições são satisfeitas.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 3: 22 - 10 · $10$ = passo 3: valor máximo de b

Passo 5 — Testar b = 9

Como b = 10 falhou, testamos o próximo valor, b = 9. Precisamos de a < 9 e c > 9, com a + c = 13. O menor c possível é 10, o que dá a = 3. Verificamos: c = 10 < a+b = 3+9 = 12, que é verdadeiro. E a < b < c: 3 < 9 < 10, também verdadeiro. Portanto, b = 9 funciona.

Por que esta fórmula: Testamos o valor e confirmamos que existe uma combinação válida.

De onde vem cada valor: $13$ = passo 4: 22 - 9 · $9$ = passo 4: próximo valor de b

b = 9 é possível (a = 3, c = 10)

Resposta: 9 carros — alternativa C