GabaritoE — 4.
Gabarito: letra E — a conta chega a 4 relógios — alternativa E.
Este é um problema de otimização com números naturais: queremos o maior valor possível para uma das quantidades, respeitando duas condições — a soma total é fixa e os valores são todos diferentes. A ideia é que, para maximizar o menor, os outros três devem ser os menores possíveis, mas sempre maiores que o dele e diferentes entre si.
Se Daniel tem d relógios, os outros três têm, no mínimo, d+1, d+2 e d+3, pois são todos maiores e diferentes. A soma total é d + (d+1) + (d+2) + (d+3) = 4d + 6, e essa soma não pode passar de 25. Quanto maior d, maior a soma; então o maior d possível é o que mantém 4d + 6 ≤ 25.
A questão pede exatamente esse limite: montar a inequação com os números consecutivos e achar o maior inteiro que a satisfaz. É isso que vamos fazer nos passos.
total de relógios = 25
quatro colecionadores: André, Bento, Calo e Daniel
Daniel tem a menor quantidade
todas as quantidades são diferentes
O que queremos: o maior número de relógios que Daniel pode ter
Para Daniel ter o máximo, os outros três devem ter o mínimo possível, mas sempre maiores que o dele e diferentes entre si. Se Daniel tem d, os menores valores possíveis para os outros são d+1, d+2 e d+3 — números consecutivos. Somando tudo, temos a menor soma total possível para um dado d.
Por que esta fórmula: É a soma das quatro quantidades, com os três maiores assumindo os menores valores permitidos. Essa soma não pode ultrapassar o total de 25.
De onde vem cada valor: = definição: quantidade de Daniel (incógnita) · = definição: menores valores possíveis para os outros três, todos maiores que d e diferentes entre si
Esquecer que os outros três precisam ser diferentes entre si e usar d+1, d+1, d+1 — isso daria soma menor e permitiria d maior, mas viola a condição.
A soma mínima calculada no passo 1 é o menor total possível para um dado d. Se essa soma mínima já ultrapassar 25, então d é grande demais. Precisamos garantir que 4d + 6 ≤ 25.
Por que esta fórmula: É a condição do problema: o total de relógios é exatamente 25, então a soma das quatro quantidades não pode ser maior que isso.
De onde vem cada valor: = passo 1: soma mínima · = enunciado: total de relógios
Esquecer o sinal de menor ou igual e usar apenas menor, o que excluiria o caso em que a soma é exatamente 25.
Agora temos uma inequação simples; para saber o maior d possível, precisamos isolá-lo. Subtraímos 6 dos dois lados e depois dividimos por 4.
Por que esta fórmula: É a manipulação algébrica padrão para resolver a inequação do passo 2.
De onde vem cada valor: = passo 2: 25 - 6 · = constante: coeficiente de d na inequação 4d ≤ 19
Errar a subtração: 25 - 6 = 19, não 21.
d é uma quantidade de relógios, então só pode ser número natural. O maior inteiro que é menor ou igual a 4,75 é 4. Precisamos verificar se d = 4 é viável: os outros podem ter 5, 6 e 7, somando 4+5+6+7 = 22, que é menor que 25; ainda dá para distribuir os 3 restantes entre os outros três, mantendo todos diferentes e maiores que 4.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a interpretação do resultado da inequação: o maior inteiro que satisfaz d ≤ 4,75 é 4.
Arredondar 4,75 para 5, esquecendo que d tem que ser inteiro e que 5 já ultrapassa o limite.
Resposta: 4 relógios — alternativa E
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