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Questão de Matemática — Números Naturais: Introdução, Representação, Propriedades — FCC 2024

MatemáticaNúmeros Naturais: Introdução, Representação, Propriedades
Código
fc146981
Banca
FCC
Órgão
TRT 7
Ano
2024
Cargo
AJ TRT7

Considere todos os números maiores do que 99 e menores do que 1000 tais que:

  • todos os algarismos sejam distintos,
  • o algarismo da unidade é igual a soma dos outros dois algarismos.

A quantidade de números que obedecem a essas condições é:

  1. A16
  2. B32
  3. C64
  4. D48
  5. E4
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GabaritoB — 32

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 32 números — alternativa B.

A ideia por trás

Um número de três algarismos é formado por centena, dezena e unidade. Aqui, a unidade não é escolhida livremente: ela é forçada a ser a soma dos outros dois. Isso transforma o problema em uma contagem de pares (centena, dezena) que geram uma unidade válida.

Se o número é ABC, com A a centena, B a dezena e C a unidade, então C = A + B. Como C é um algarismo (0 a 9), a soma A + B deve ser no máximo 9. Além disso, A não pode ser 0 (senão não seria um número de três algarismos) e todos os algarismos devem ser distintos: A ≠ B, A ≠ C e B ≠ C. Cada par ordenado (A, B) que respeita essas regras gera exatamente um número.

A questão pede para contar quantos pares (A, B) satisfazem as condições. A estratégia é analisar caso a caso, variando A de 1 a 9, e para cada A contar quantos B são possíveis, excluindo os casos em que a soma ultrapassa 9 ou em que algum algarismo se repete.

O que a questão dá

  • números maiores que 99 e menores que 1000 (ou seja, de três algarismos)

  • todos os algarismos distintos

  • o algarismo da unidade é igual à soma dos outros dois

O que queremos: a quantidade de números que satisfazem essas condições

Passo 1 — Entender a restrição da soma

Antes de contar, precisamos saber quais valores de B são permitidos para cada A. A condição C = A + B limita B: como C é um algarismo, A + B ≤ 9, então B ≤ 9 - A. Além disso, B não pode ser igual a A, e também não pode ser tal que C seja igual a A ou a B.

Por que esta fórmula: A condição C = A + B é a base de tudo. Ela determina C automaticamente, então não escolhemos C. A restrição A + B ≤ 9 vem do fato de C ser um algarismo de 0 a 9.

C=A+BC = A + B

De onde vem cada valor: AA = definição: centena do número, de 1 a 9 · BB = definição: dezena do número, de 0 a 9 · CC = definição: unidade, igual à soma

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que A não pode ser 0, pois o número tem três algarismos.

Passo 2 — Contar os casos para A = 1

Começamos com A = 1, o menor valor possível. Para cada A, listamos os B permitidos e verificamos a distinção dos algarismos.

Por que esta fórmula: Para A = 1, B pode ser de 0 a 8 (pois 1 + 9 = 10, que não é algarismo). Mas B não pode ser 1 (distinto de A). Além disso, se B = 0, então C = 1, que é igual a A, então também é excluído. Os B válidos são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, totalizando 7.

7 nuˊmeros\boxed{7\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir B = 0, esquecendo que C = 1 repetiria a centena.

Passo 3 — Contar os casos para A = 2

Agora A = 2. B pode ser de 0 a 7 (pois 2 + 8 = 10). B não pode ser 2. Se B = 0, C = 2 = A, excluído. Os B válidos são 1, 3, 4, 5, 6, 7, totalizando 6.

Por que esta fórmula: A mesma lógica: B ≤ 9 - A = 7, B ≠ A, e B ≠ 0 se A + 0 = A (repetição).

6 nuˊmeros\boxed{6\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que B = 1 é válido, pois C = 3, todos distintos.

Passo 4 — Contar os casos para A = 3

A = 3. B pode ser de 0 a 6 (pois 3 + 7 = 10). B ≠ 3. B = 0 dá C = 3 = A, excluído. B válidos: 1, 2, 4, 5, 6, totalizando 5.

Por que esta fórmula: Mesma regra: B ≤ 6, B ≠ 3, e B ≠ 0.

5 nuˊmeros\boxed{5\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir B = 0, que repete a centena.

Passo 5 — Contar os casos para A = 4

A = 4. B pode ser de 0 a 5 (pois 4 + 6 = 10). B ≠ 4. B = 0 dá C = 4 = A, excluído. B válidos: 1, 2, 3, 5, totalizando 4.

Por que esta fórmula: B ≤ 5, B ≠ 4, B ≠ 0.

4 nuˊmeros\boxed{4\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que B = 5 é válido, pois C = 9, todos distintos.

Passo 6 — Contar os casos para A = 5

A = 5. B pode ser de 0 a 4 (pois 5 + 5 = 10, mas B ≠ A, então B ≤ 4). B ≠ 5. B = 0 dá C = 5 = A, excluído. B válidos: 1, 2, 3, 4, totalizando 4.

Por que esta fórmula: B ≤ 4, B ≠ 5, B ≠ 0.

4 nuˊmeros\boxed{4\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir B = 5, que repetiria a centena.

Passo 7 — Contar os casos para A = 6

A = 6. B pode ser de 0 a 3 (pois 6 + 4 = 10). B ≠ 6. B = 0 dá C = 6 = A, excluído. B válidos: 1, 2, 3, totalizando 3.

Por que esta fórmula: B ≤ 3, B ≠ 6, B ≠ 0.

3 nuˊmeros\boxed{3\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que B = 3 é válido, pois C = 9.

Passo 8 — Contar os casos para A = 7, 8 e 9 e somar tudo

Para A = 7, B pode ser 0, 1, 2 (pois 7 + 3 = 10). B = 0 dá C = 7 = A, excluído. B válidos: 1, 2, totalizando 2. Para A = 8, B pode ser 0, 1 (pois 8 + 2 = 10). B = 0 dá C = 8 = A, excluído. B = 1 é válido, totalizando 1. Para A = 9, B só pode ser 0 (pois 9 + 1 = 10), mas B = 0 dá C = 9 = A, excluído, então 0. Somando: 7 + 6 + 5 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 32.

Por que esta fórmula: A soma dos casos é o total de números. Cada caso conta os pares (A, B) válidos.

7+6+5+4+4+3+2+1+0=327 + 6 + 5 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 32

De onde vem cada valor: 77 = passo 2 · 66 = passo 3 · 55 = passo 4 · 44 = passo 6 · 33 = passo 7 · 22 = passo 8: contagem para A = 7 · 11 = passo 8: contagem para A = 8 · 00 = passo 8: contagem para A = 9

7+6+5+4+4+3+2+1+0=32=32 nuˊmeros7 + 6 + 5 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 32 = \boxed{32\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de excluir o caso B = 0 em cada A, o que adicionaria 9 números a mais.

Resposta: 32 números — alternativa B

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