Matemática · FCC · 2024 | Questão sqc-fc147006

Porcentagem: variações percentuais sucessivas

Gabarito: letra A — após quatro trimestres, o saldo devedor corresponde a 40,96% do valor inicial. Isso ocorre porque, a cada trimestre, paga-se 20% do saldo devedor, restando 80% dele; após quatro períodos, o saldo é $0,8^4 = 0,4096$ do valor original.

A questão trata de variações percentuais sucessivas, um tema central de porcentagem. Quando um valor sofre uma redução percentual de 20% a cada período, ele é multiplicado por $1 - 0,20 = 0,80$ . Como a operação se repete trimestralmente por um ano (4 trimestres), o fator de redução é aplicado quatro vezes: $0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,8^4$ .

O erro mais comum é somar as reduções (20% + 20% + 20% + 20% = 80%) e concluir que o saldo seria 20% do valor inicial. Isso está errado porque cada redução incide sobre o saldo já reduzido no trimestre anterior, não sobre o valor original. É a diferença entre juros simples (incidência sobre o valor inicial) e juros compostos (incidência sobre o valor atualizado).

Vamos calcular passo a passo, supondo um valor inicial de R$ 100,00 para facilitar:

1º trimestre: paga 20% de R$ 100,00 = R$ 20,00 → saldo = R$ 80,00 (80% do inicial)
2º trimestre: paga 20% de R$ 80,00 = R$ 16,00 → saldo = R$ 64,00 (64% do inicial)
3º trimestre: paga 20% de R$ 64,00 = R$ 12,80 → saldo = R$ 51,20 (51,20% do inicial)
4º trimestre: paga 20% de R$ 51,20 = R$ 10,24 → saldo = R$ 40,96 (40,96% do inicial)

Perceba que o valor pago diminui a cada trimestre, pois incide sobre um saldo cada vez menor. O saldo final é exatamente $100 \times 0,8^4 = 100 \times 0,4096 = 40,96$ .

A fórmula geral para variações percentuais sucessivas é:

V_f = V_i \times (1 + i_1) \times (1 + i_2) \times \dots \times (1 + i_n)

Onde $i$ é a taxa (positiva para aumento, negativa para redução). Neste caso, $i = -0,20$ em cada um dos 4 períodos.

Guarde o critério decisivo: quando uma taxa percentual incide sucessivamente sobre o valor já modificado, multiplicam-se os fatores $(1 \pm i)$ , nunca se somam as taxas. É exatamente nesse ponto que as alternativas se dividem.

Saldo devedor após pagamentos trimestrais — só Saldo inicial: 100%; só Saldo após 1 trimestre: 80%; Saldo inicial∩Saldo após 1 trimestre: 20%

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é o resultado de aplicar o fator de redução 0,8 quatro vezes: $0,8^4 = 0,4096 = 40,96\%$ . O cálculo confirma que, após um ano de pagamentos trimestrais de 20% do saldo devedor, resta exatamente 40,96% da dívida original.

Alternativa B — ❌ Incorreta

80,00% seria o saldo após um único trimestre, não após um ano. O candidato que marca esta opção calcula apenas $1 - 0,20 = 0,80$ , esquecendo que o processo se repete por quatro trimestres.

Alternativa C — ❌ Incorreta

72,20% não corresponde a nenhum cálculo direto da questão. Um candidato pode chegar a esse número se aplicar a redução de 20% apenas duas vezes ( $0,8^2 = 0,64$ ) e depois somar algo incorretamente, ou se confundir os períodos. Não há fundamento matemático para esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

50,14% é um distrator que pode surgir de um cálculo errado, como aplicar a redução de 20% três vezes ( $0,8^3 = 0,512$ ) e depois arredondar ou subtrair incorretamente. O valor correto após três trimestres seria 51,20%, não 50,14%.

Alternativa E — ❌ Incorreta

60,08% não tem relação com o problema. Um candidato pode chegar a esse número se aplicar a redução de 20% apenas uma vez e depois fizer uma operação incorreta, ou se confundir a taxa (por exemplo, usar 10% ao trimestre). Não há base matemática para esse valor.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre somar percentuais e multiplicar fatores. Muitos candidatos somam 20% + 20% + 20% + 20% = 80% e marcam a letra B (80,00%), mas o correto é multiplicar $0,8 \times 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,4096$ . Lembre-se: em variações sucessivas, nunca some as taxas — multiplique os fatores $(1 \pm i)$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de variações percentuais sucessivas, use sempre a fórmula $V_f = V_i \times (1 + i_1) \times (1 + i_2) \times \dots$ . Se a taxa é de redução, o fator é $(1 - i)$ ; se é de aumento, $(1 + i)$ . E lembre-se: o número de períodos é o expoente. Com treino, você resolve esse tipo de questão em segundos.

Gabarito: letra A