Considere os números inteiros a, b, c, d, e, f e q. Em relação a esses números sabe-se que
I. a+b+c=18.
II. c+d+e=30.
III. e+f+g=45.
IV. a + b+c+d+e+f+g=73.
O valor de c+e é
GabaritoC — 20.
Gabarito: letra C — a conta chega a c + e = 20 — alternativa C.
Um sistema linear é um conjunto de equações que relacionam várias incógnitas. Aqui temos sete incógnitas (a, b, c, d, e, f, g) e apenas quatro equações, então não dá para achar cada uma separadamente. Mas o problema não pede isso: pede uma combinação específica, c + e, e para isso basta manipular as equações como se fossem blocos de montar.
A ideia central é que podemos somar ou subtrair equações inteiras, porque se duas igualdades valem, a soma delas também vale. Ao somar equações, as incógnitas que aparecem em mais de uma equação são contadas mais de uma vez. Por exemplo, se somarmos I e II, o c aparece duas vezes. Isso permite criar uma equação nova que tem exatamente a combinação que queremos, sem precisar resolver o sistema todo.
Esta questão cobra exatamente essa técnica: combinar as equações dadas para isolar c + e. O caminho é somar as três primeiras equações e depois subtrair a quarta, porque assim as incógnitas que não interessam (a, b, d, f, g) se cancelam.
a + b + c = 18
c + d + e = 30
e + f + g = 45
a + b + c + d + e + f + g = 73
O que queremos: o valor de c + e
Queremos uma expressão que envolva c e e. Somar as equações I, II e III junta todas as incógnitas, mas repare que c aparece na I e na II, e e aparece na II e na III — então eles serão contados duas vezes. Isso é justamente o que precisamos para depois subtrair a equação IV e sobrar só c + e.
Por que esta fórmula: Somar equações é válido porque se A = B e C = D, então A + C = B + D. Aqui somamos os lados esquerdos e os direitos das três equações.
De onde vem cada valor: = enunciado: equação I · = enunciado: equação II · = enunciado: equação III · = enunciado: equação I · = enunciado: equação II · = enunciado: equação III
Esquecer que c e e aparecem duas vezes e escrever a + b + c + d + e + f + g = 93 — isso daria errado na subtração.
A soma do passo 1 tem todas as incógnitas, mas com c e e dobrados. A equação IV tem as mesmas incógnitas, mas todas com coeficiente 1. Subtraindo uma da outra, as incógnitas que não queremos (a, b, d, f, g) se cancelam, e sobra exatamente c + e.
Por que esta fórmula: Subtrair equações é o inverso de somar: se A = B e C = D, então A - C = B - D. Aqui subtraímos a equação IV da soma do passo 1.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: equação IV · = passo 1 · = enunciado: equação IV
Subtrair na ordem errada (IV menos a soma) e obter -20, ou errar a conta 93 - 73.
Resposta: c + e = 20 — alternativa C
Link permanente: /questoes/fc147007