Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — FCC 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 2% — alternativa C.

A ideia por trás

Quando uma pesquisa pergunta sobre vários gostos ao mesmo tempo, as pessoas podem se encaixar em mais de um grupo — quem gosta de samba pode também gostar de rock. O princípio da inclusão-exclusão é a ferramenta que conta quantas pessoas estão em pelo menos um dos grupos, sem contar ninguém duas vezes. Ele funciona somando os grupos individuais e depois corrigindo as contagens repetidas das interseções.

Para três conjuntos A, B e C, a fórmula é: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C). O motivo: ao somar os três grupos, quem está em duas interseções é contado duas vezes (por isso subtraímos cada interseção dupla uma vez), e quem está nos três é contado três vezes — subtraímos três vezes nas interseções duplas, mas ele deveria ser contado só uma vez, então somamos a interseção tripla de volta. Essa fórmula vale para qualquer conjunto de dados, desde que as interseções sejam as completas (incluindo a tripla).

Esta questão testa exatamente esse detalhe: o enunciado dá '5% apenas de samba e clássica', que NÃO é a interseção completa S∩C — falta somar os 10% que também gostam de rock. O passo crucial é montar a interseção dupla correta antes de aplicar a fórmula.

O que a questão dá

• P(S) = 40%

• P(R) = 75%

• P(C) = 53%

• P(S ∩ R) = 35%

• P(R ∩ C) = 30%

• P(apenas S e C) = 5%

• P(S ∩ R ∩ C) = 10%

O que queremos: o percentual de pessoas que não gostam de nenhum dos três estilos

Passo 1 — Completar a interseção samba-clássica

A fórmula da união exige as interseções duplas completas, ou seja, todos que gostam dos dois estilos, independentemente do terceiro. O enunciado deu '5% apenas de samba e clássica', que exclui quem também gosta de rock — mas esses 10% também gostam de samba e clássica, então precisam entrar na conta.

Por que esta fórmula: A interseção completa S∩C é a soma de quem gosta só de samba e clássica com quem gosta dos três, porque ambos satisfazem 'gosta de samba E gosta de clássica'.

De onde vem cada valor: $P(\text{apenas } S \cap C)$ = enunciado: 5% · $P(S \cap R \cap C)$ = enunciado: 10%

Passo 2 — Aplicar a fórmula da união

Com todas as interseções completas em mãos, podemos calcular quantos gostam de pelo menos um estilo. A fórmula da inclusão-exclusão soma os três grupos e corrige as contagens repetidas.

Por que esta fórmula: É a fórmula padrão para união de três conjuntos: soma os individuais, subtrai as interseções duplas (para não contar duas vezes quem está em dois grupos) e soma a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes, mas deve contar uma só).

De onde vem cada valor: $P(S)$ = enunciado: 40% · $P(R)$ = enunciado: 75% · $P(C)$ = enunciado: 53% · $P(S \cap R)$ = enunciado: 35% · $P(S \cap C)$ = passo 1: 15% · $P(R \cap C)$ = enunciado: 30% · $P(S \cap R \cap C)$ = enunciado: 10%

Passo 3 — Calcular quem não gosta de nenhum

A união deu 98%, ou seja, 98 em cada 100 gostam de pelo menos um estilo. Como a pesquisa cobre 100% dos entrevistados, o restante é exatamente quem não gosta de nenhum dos três.

Por que esta fórmula: O complemento de um conjunto em relação ao total é o que falta para 100%: subtrair a união de 100%.

De onde vem cada valor: $P(S \cup R \cup C)$ = passo 2: 98%

Resposta: 2% — alternativa C