Questão de Matemática — Geometria Espacial — FCC 2025

Geometria Espacial: interseção de plano e esfera

Gabarito: letra E — o volume do cone é $128\pi$ m³. A resolução exige calcular a distância do centro da esfera ao plano (usando a fórmula da distância de ponto a plano), obter o raio do círculo de interseção pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera, a distância ao plano e o raio do círculo, e então aplicar a fórmula do volume do cone com altura igual a essa distância.

A ideia por trás

Quando um plano corta uma esfera, a interseção é sempre um círculo. O centro desse círculo é a projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano. A distância do centro da esfera ao plano, o raio da esfera e o raio do círculo de interseção formam um triângulo retângulo, onde o raio da esfera é a hipotenusa. Essa relação é a chave para resolver o problema.

A distância de um ponto $P(x_0, y_0, z_0)$ a um plano $ax + by + cz + d = 0$ é dada por:

No nosso caso, o ponto é o centro $C = (4, 7, 5)$ e o plano é $x + 2y + 2z = 10$, que pode ser reescrito como $x + 2y + 2z - 10 = 0$. Substituindo:

Agora, com o raio da esfera $R = 10$ m e a distância $d = 6$ m, o raio do círculo de interseção $r$ é obtido por Pitágoras:

O cone tem vértice no centro da esfera e base no círculo de interseção. A altura do cone é exatamente a distância do centro ao plano, $h = 6$ m. O volume do cone é:

Exemplo prático

Imagine uma bola de praia de raio 10 m (improvável, mas didático) flutuando e um plano cortando-a a 6 m do centro. O círculo de corte terá raio 8 m. Se você colocar o vértice de um cone no centro da bola e a base no círculo de corte, o volume desse cone será $128\pi$ m³.

A pegadinha

A banca pode tentar confundir o candidato de duas formas: (1) usar o raio da esfera como se fosse o raio do círculo de interseção, ou (2) usar a distância ao plano como se fosse o raio do círculo. É fundamental lembrar que o raio do círculo é sempre menor ou igual ao raio da esfera, e a distância ao plano é a altura do cone.

Distinção importante

A distância do centro ao plano é a altura do cone, não o raio da base. O raio da base é o raio do círculo de interseção, que se obtém por Pitágoras. Confundir esses dois elementos é o erro mais comum.

O gancho

Guarde a sequência: distância ponto-plano → raio do círculo por Pitágoras → volume do cone. É exatamente essa cadeia que as alternativas testam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{512}{3}\pi$ seria o volume se o raio do círculo fosse $8$ e a altura fosse $8$ (pois $\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 = \frac{512}{3}$). Mas a altura correta é $6$, não $8$. O candidato que usa a distância errada ou confunde os valores cai aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$512\pi$ seria o volume se o raio do círculo fosse $8$ e a altura fosse $24$ (pois $\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 24 = 512$). Esse valor não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados do problema; provavelmente é um distrator para quem erra a altura ou o raio.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$256\pi$ seria o volume se o raio do círculo fosse $8$ e a altura fosse $12$ (pois $\frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 12 = 256$). Novamente, não corresponde aos dados corretos; é um distrator para quem usa a altura como o dobro da distância correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$64\pi$ seria o volume se o raio do círculo fosse $4$ e a altura fosse $12$ (pois $\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 12 = 64$). Esse valor não corresponde aos dados; é um distrator para quem erra o raio do círculo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O volume é $128\pi$ m³, obtido com raio do círculo $r = 8$ m e altura $h = 6$ m. A conta é direta: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 6 = 128\pi$.

Gabarito: letra E