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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc149903
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ PI
Ano
2025
Cargo
AFFE ( )
O secretário de obras de uma prefeitura precisa distribuir 7 projetos de melhoria entre 3 departamentos. Devido à sua complexidade, o Departamento Central deve receber exatamente 3 projetos, enquanto os outros dois departamentos devem receber, cada um, exatamente 2 projetos. O número de maneiras que essa distribuição pode ser realizada é:
  1. A420
  2. B630
  3. C210
  4. D105
  5. E315
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GabaritoC — 210

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 210 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas formas podemos agrupar elementos. Quando temos objetos distintos e precisamos dividi-los em grupos com tamanhos fixos, usamos a partição ordenada: a ordem dos grupos importa porque cada grupo tem um destino diferente (no caso, cada departamento).

A fórmula da partição ordenada para dividir n elementos em grupos de tamanhos p1, p2, ..., pm é n! / (p1! · p2! · ... · pm!). Ela conta todas as maneiras de escolher os elementos de cada grupo, considerando que a ordem dos grupos é relevante. Se os grupos fossem indistinguíveis, dividiríamos ainda pelo fatorial do número de grupos iguais.

Aqui temos 7 projetos distintos e 3 departamentos distintos, com tamanhos fixos (3, 2 e 2). Como os departamentos são diferentes, a ordem dos grupos importa, então aplicamos a partição ordenada diretamente.

O que a questão dá

  • 7 projetos de melhoria

  • 3 departamentos distintos

  • Departamento Central: exatamente 3 projetos

  • outros dois departamentos: exatamente 2 projetos cada

O que queremos: o número de maneiras de distribuir os projetos

Passo 1 — Escolher os projetos do Departamento Central

Começamos pelo departamento com mais projetos, pois é o mais restritivo. Precisamos escolher 3 dos 7 projetos para ele, e a ordem dentro do grupo não importa, então é uma combinação.

Por que esta fórmula: Combinação de 7 elementos tomados 3 a 3, pois a ordem dos escolhidos não altera o grupo.

C(7,3)=7!3!⋅(7−3)!C(7{,}3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}

De onde vem cada valor: 77 = enunciado: total de projetos · 33 = enunciado: projetos do Departamento Central

C(7,3)=7!3!⋅4!=7×6×53×2×1=35 maneirasC(7{,}3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{35\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (7P3) em vez de combinação, contando ordens diferentes como distintas, o que daria 210 só neste passo.

Passo 2 — Escolher os projetos do segundo departamento

Depois de separar os 3 do Central, restam 4 projetos. Precisamos escolher 2 para o segundo departamento; a ordem não importa, então é outra combinação.

Por que esta fórmula: Combinação de 4 elementos tomados 2 a 2, pois a ordem dos escolhidos não altera o grupo.

C(4,2)=4!2!⋅(4−2)!C(4{,}2) = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: projetos restantes (7 - 3) · 22 = enunciado: projetos do segundo departamento

C(4,2)=4!2!⋅2!=4×32×1=6 maneirasC(4{,}2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \boxed{6\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que já tiramos 3 projetos e usar 7 de novo, contando combinações repetidas.

Passo 3 — Atribuir os projetos restantes ao terceiro departamento

Após escolher os grupos do Central e do segundo, os 2 projetos que sobraram vão automaticamente para o terceiro departamento. Não há escolha a fazer, mas precisamos contar essa única possibilidade.

Por que esta fórmula: Combinação de 2 elementos tomados 2 a 2, que é sempre 1, pois só há uma forma de pegar todos.

C(2,2)=2!2!⋅0!C(2{,}2) = \frac{2!}{2! \cdot 0!}

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: projetos restantes (4 - 2)

C(2,2)=2!2!⋅1=1=1 maneiraC(2{,}2) = \frac{2!}{2! \cdot 1} = 1 = \boxed{1\ \text{maneira}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que precisa escolher algo aqui, mas não há escolha: os últimos projetos são obrigatórios.

Passo 4 — Multiplicar as escolhas de cada departamento

Cada escolha de projetos para um departamento é independente das outras, então o princípio multiplicativo da contagem diz que o total é o produto das possibilidades de cada etapa.

Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem: se uma decisão tem a maneiras e outra tem b, juntas têm a × b.

Total=C(7,3)×C(4,2)×C(2,2)Total = C(7{,}3) \times C(4{,}2) \times C(2{,}2)

De onde vem cada valor: C(7,3)C(7{,}3) = passo 1: 35 · C(4,2)C(4{,}2) = passo 2: 6 · C(2,2)C(2{,}2) = passo 3: 1

Total=35×6×1=210 maneirasTotal = 35 \times 6 \times 1 = \boxed{210\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 3 achando que os departamentos são escolhidos em ordem, mas a ordem já está fixa no enunciado.

Resposta: 210 maneiras — alternativa C

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