Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — FCC 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 27 alunos — alternativa C.

A ideia por trás

Quando falamos de conjuntos, estamos agrupando elementos que têm uma característica em comum. Aqui, cada aluno pode pertencer a um, dois ou três grupos (chá, leite, café), e alguns podem não pertencer a nenhum. A união de conjuntos reúne todos os elementos que estão em pelo menos um deles; o complementar é o que fica de fora da união, dentro do universo (a turma inteira).

Para contar quantos elementos estão na união de três conjuntos, não basta somar os tamanhos de cada um: quem gosta de duas bebidas seria contado duas vezes, e quem gosta das três, três vezes. O princípio da inclusão-exclusão corrige isso: soma os três conjuntos, subtrai as três interseções duplas (para descontar quem foi contado a mais) e soma a interseção tripla (porque ela foi subtraída demais). O resultado é o total de alunos que gostam de pelo menos uma bebida.

Esta questão pede exatamente o complementar da união: primeiro calculamos quantos gostam de pelo menos uma bebida com a inclusão-exclusão, depois subtraímos do total da turma. O passo crítico é lembrar de somar a interseção tripla no final.

O que a questão dá

• total de alunos = 80

• gostam de chá = 30

• gostam de leite = 35

• gostam de café = 25

• gostam de chá e leite = 15

• gostam de leite e café = 17

• gostam de chá e café = 14

• gostam de chá, leite e café = 9

O que queremos: o número de alunos que não gostam de nenhuma das três bebidas

Passo 1 — Somando os três grupos individuais

Começamos juntando todos os alunos que gostam de cada bebida, como se fossem grupos separados. Isso é o ponto de partida da inclusão-exclusão: a soma inicial conta cada aluno que gosta de duas bebidas duas vezes e cada um que gosta das três, três vezes.

Por que esta fórmula: É a primeira parte da fórmula da união: somar os tamanhos de cada conjunto individual.

De onde vem cada valor: $|C|$ = enunciado: 30 · $|L|$ = enunciado: 35 · $|K|$ = enunciado: 25

Passo 2 — Subtraindo as interseções duplas

A soma inicial contou duas vezes quem gosta de duas bebidas. Para corrigir, subtraímos cada interseção dupla uma vez, pois cada aluno que está em duas interseções foi contado a mais exatamente uma vez.

Por que esta fórmula: É a segunda parte da inclusão-exclusão: subtrair as interseções de pares de conjuntos.

De onde vem cada valor: $|C \cap L|$ = enunciado: 15 · $|L \cap K|$ = enunciado: 17 · $|C \cap K|$ = enunciado: 14

Passo 3 — Somando a interseção tripla de volta

Quem gosta das três bebidas foi contado três vezes na soma inicial e subtraído três vezes nas interseções duplas — no fim, ficou de fora. Por isso precisamos somá-lo uma vez para que ele seja contado exatamente uma vez na união.

Por que esta fórmula: É a última parte da inclusão-exclusão: adicionar a interseção tripla.

De onde vem cada valor: $S_{ind}$ = passo 1: 90 · $S_{dupla}$ = passo 2: 46 · $|C \cap L \cap K|$ = enunciado: 9

Passo 4 — Subtraindo do total da turma

A união nos diz quantos gostam de pelo menos uma bebida. Quem não gosta de nenhuma é o complementar: o total da turma menos esse número.

Por que esta fórmula: O complementar de um conjunto em relação ao universo é o que sobra fora dele.

De onde vem cada valor: $80$ = enunciado: total de alunos · $|C \cup L \cup K|$ = passo 3: 53

Resposta: 27 alunos — alternativa C