Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — FCC 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
fc149906
Banca
FCC
Órgão
SEFAZ PI
Ano
2025
Cargo
AFFE ( )
Duas impressoras são utilizadas para imprimir um grande lote de documentos. A primeira impressora, operando sozinha, leva 2 horas a menos que a segunda impressora para concluir o trabalho. Juntas, as duas impressoras conseguem finalizar o lote em 2 horas e 24 minutos. Com base nessas informações, o tempo que a segunda impressora levaria sozinha para concluir a impressão é
  1. A7 horas e 20 minutos.
  2. B6 horas.
  3. C3 horas.
  4. D4 horas e 30 minutos.
  5. E5 horas.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 6 horas.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 horas — alternativa B.

A ideia por trás

Problemas de trabalho conjunto aparecem quando duas ou mais máquinas (ou pessoas, torneiras) executam a mesma tarefa. A grandeza que se soma não é o tempo, mas a velocidade de trabalho: a fração do serviço que cada uma faz por hora. Se uma leva t horas sozinha, ela faz 1/t do serviço por hora.

A equação fundamental é 1/T = 1/t1 + 1/t2, onde T é o tempo conjunto. Isso porque as frações do trabalho por hora se somam. Se uma é mais rápida, sua fração é maior, e o tempo conjunto é sempre menor que o tempo da mais rápida sozinha. O erro clássico é somar os tempos diretamente, o que daria um tempo maior que o da mais lenta.

Aqui temos duas incógnitas relacionadas: o tempo da segunda (x) e o da primeira (x-2). Substituindo na equação fundamental, obtemos uma equação do segundo grau, que é o coração da questão.

O que a questão dá

  • primeira impressora leva 2 horas a menos que a segunda

  • juntas levam 2 horas e 24 minutos

O que queremos: o tempo que a segunda impressora levaria sozinha

Passo 1 — Converter o tempo conjunto para horas

A equação do trabalho conjunto usa horas como unidade, então precisamos expressar 2 horas e 24 minutos em horas. Como 24 minutos são 24/60 de hora, somamos isso às 2 horas.

Por que esta fórmula: Conversão de minutos para horas: divide-se por 60, pois 1 hora tem 60 minutos.

T=2+2460T = 2 + \frac{24}{60}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: 2 horas · 2424 = enunciado: 24 minutos · 6060 = definição: 1 hora = 60 minutos

T=2+0,4=2,4 horasT = 2 + 0{,}4 = \boxed{2{,}4\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 2,24 horas, o que daria uma equação errada.

Passo 2 — Montar a equação do trabalho conjunto

Com o tempo conjunto em horas, podemos aplicar a relação fundamental: a soma das frações do trabalho por hora de cada impressora é igual à fração conjunta. Chamando de x o tempo da segunda, a primeira leva x-2.

Por que esta fórmula: A equação 1/(x-2) + 1/x = 1/2,4 vem diretamente da ideia de que as velocidades se somam. Cada termo é a fração do serviço feito por hora.

1x−2+1x=12,4\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2{,}4}

De onde vem cada valor: xx = definição: tempo da segunda impressora (incógnita) · x−2x-2 = enunciado: primeira impressora leva 2 horas a menos que a segunda · 2,42{,}4 = passo 1

1x−2+1x=12,4\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2{,}4}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os tempos diretamente: x + (x-2) = 2,4, o que não faz sentido.

Passo 3 — Eliminar os denominadores

Para resolver a equação, precisamos transformá-la em uma equação do segundo grau. Multiplicamos todos os termos pelo produto dos denominadores, o que elimina as frações.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 2,4·x·(x-2) é uma forma de tirar o MMC. Isso é válido porque multiplicamos os dois lados da igualdade pelo mesmo número.

2,4x+2,4(x−2)=x(x−2)2{,}4x + 2{,}4(x-2) = x(x-2)

De onde vem cada valor: 2,42{,}4 = passo 1 · xx = definição: tempo da segunda impressora (incógnita) · x−2x-2 = enunciado: primeira impressora leva 2 horas a menos que a segunda

2,4x+2,4x−4,8=x2−2x2{,}4x + 2{,}4x - 4{,}8 = x^{2} - 2x
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o termo 1/2,4 pelo produto, deixando a equação desbalanceada.

Passo 4 — Reorganizar a equação na forma padrão

Com os denominadores eliminados, juntamos os termos semelhantes e passamos tudo para um lado, deixando a equação igual a zero. Isso prepara para usar a fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: A forma padrão de uma equação do segundo grau é ax² + bx + c = 0. Aqui, somamos os termos com x e isolamos o zero.

x2−6,8x+4,8=0x^{2} - 6{,}8x + 4{,}8 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 3: termo x(x-2) · −6,8x-6{,}8x = passo 3: de 4,8x - 2x · 4,84{,}8 = passo 3: constante após passar para o outro lado

x2−6,8x+4,8=0x^{2} - 6{,}8x + 4{,}8 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar termos para o outro lado, por exemplo, obter x² + 6,8x - 4,8 = 0.

Passo 5 — Multiplicar por 5 para evitar decimais

Trabalhar com números inteiros reduz erros de cálculo. Multiplicamos toda a equação por 5, pois 6,8 e 4,8 têm uma casa decimal.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por um mesmo número não altera as raízes. Escolhemos 5 para transformar os coeficientes em inteiros.

5x2−34x+24=05x^{2} - 34x + 24 = 0

De onde vem cada valor: 55 = constante: fator para eliminar decimais · −34-34 = passo 4: 5 × (-6,8) · 2424 = passo 4: 5 × 4,8

5x2−34x+24=05x^{2} - 34x + 24 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar apenas alguns termos, deixando a equação desbalanceada.

Passo 6 — Calcular o discriminante

O discriminante Δ = b² - 4ac indica quantas raízes reais a equação tem e é o primeiro passo da fórmula de Bhaskara. Aqui, ele será um quadrado perfeito, o que facilita.

Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, x = (-b ± √Δ)/(2a), precisamos de Δ. Calculamos com os coeficientes da equação do passo anterior.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 5: -34 · aa = passo 5: 5 · cc = passo 5: 24

Δ=(−34)2−4⋅5⋅24=676\Delta = (-34)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24 = \boxed{676}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de b ao elevar ao quadrado: (-34)² = 1156, não -1156.

Passo 7 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante em mãos, substituímos na fórmula para encontrar as duas raízes. Uma delas será descartada por não fazer sentido no contexto.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do segundo grau. Usamos a = 5, b = -34 e c = 24.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 5: -34 · Δ\Delta = passo 6: 676 · aa = passo 5: 5

x=34±67610x = \frac{34 \pm \sqrt{676}}{10}

x = 6 ou x = 0,8

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o ± e considerar apenas uma raiz.

Passo 8 — Descartar a raiz impossível

A raiz x = 0,8 horas (48 minutos) implicaria que a primeira impressora leva 0,8 - 2 = -1,2 horas, um tempo negativo, o que é absurdo. Portanto, a única resposta válida é x = 6 horas.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma análise de contexto. Tempo negativo não existe, então a raiz que o gera é descartada.

6 horas\boxed{6\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar a raiz 0,8 sem verificar que ela torna o tempo da primeira negativo.

Resposta: 6 horas — alternativa B

Link permanente: /questoes/fc149906