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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc149907
Banca
FCC
Órgão
CGE PI
Ano
2025
Cargo
Aud Gov ( )
O secretário de obras de uma prefeitura precisa distribuir 7 projetos de melhoria entre 3 departamentos. Devido à sua complexidade, o Departamento Central deve receber exatamente 3 projetos, enquanto os outros dois departamentos devem receber, cada um, exatamente 2 projetos. O número de maneiras que essa distribuição pode ser realizada é:
  1. A210
  2. B105
  3. C315
  4. D420
  5. E630
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GabaritoA — 210

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 210 maneiras — alternativa A.

A ideia por trás

Quando precisamos dividir objetos distintos em grupos de tamanhos definidos, estamos fazendo uma partição ordenada: a ordem dos grupos importa (cada departamento é diferente), mas a ordem dentro de cada grupo não. A fórmula é o coeficiente multinomial: n! dividido pelo fatorial do tamanho de cada grupo.

A fórmula é n! / (p1! · p2! · ... · pm!), onde n é o total de objetos e p1, p2, ... são os tamanhos dos grupos. Ela vem de contar todas as permutações dos n objetos (n!) e depois descontar as que são equivalentes porque a ordem dentro de cada grupo não importa (por isso dividimos por cada p!). Se os grupos fossem idênticos, ainda dividiríamos pelo fatorial do número de grupos iguais, mas aqui os departamentos são distintos.

Esta questão pede exatamente essa partição ordenada: 7 projetos em grupos de 3, 2 e 2, com os grupos sendo departamentos diferentes. A alternativa errada B (105) aparece se alguém tratar os dois departamentos menores como indistinguíveis.

O que a questão dá

  • total de projetos = 7

  • projetos para o Departamento Central = 3

  • projetos para cada um dos outros dois departamentos = 2

O que queremos: o número de maneiras de distribuir os 7 projetos entre os 3 departamentos

Passo 1 — Escolher os projetos do Departamento Central

Começamos pelo departamento que tem exigência específica (3 projetos). Precisamos escolher quais 3 dos 7 projetos vão para ele, e a ordem não importa, então é uma combinação.

Por que esta fórmula: Combinação C(n, k) = n! / (k! (n-k)!) conta de quantas maneiras escolhemos k itens de um total de n sem nos importar com a ordem.

C(7,3)=7!3!⋅4!C(7{,}3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!}

De onde vem cada valor: 77 = enunciado: total de projetos · 33 = enunciado: projetos para o Departamento Central

C(7,3)=7×6×53×2×1=35C(7{,}3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{35}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(7,3) = 210, que considera a ordem dos projetos dentro do departamento, mas a ordem não importa.

Passo 2 — Escolher os projetos do segundo departamento

Depois de separar 3 projetos, restam 4. Agora escolhemos 2 deles para o segundo departamento. A ordem também não importa, então é outra combinação.

Por que esta fórmula: Mesma lógica da combinação: escolher 2 entre os 4 restantes.

C(4,2)=4!2!⋅2!C(4{,}2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: restaram 4 projetos · 22 = enunciado: projetos para cada um dos outros departamentos

C(4,2)=4×32×1=6C(4{,}2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que já usamos 3 projetos e tentar escolher 2 de 7 novamente.

Passo 3 — Atribuir os projetos restantes ao terceiro departamento

Depois de escolher 3 + 2 = 5 projetos, sobram exatamente 2, que vão para o terceiro departamento. Só há uma maneira de fazer isso.

Por que esta fórmula: C(2,2) = 1, pois só há uma forma de escolher todos os itens restantes.

C(2,2)=1C(2{,}2) = 1

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: restaram 2 projetos

C(2,2)=1=1C(2{,}2) = 1 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que há mais de uma opção, mas como os projetos são todos distintos e já estão definidos, só resta uma combinação.

Passo 4 — Multiplicar as escolhas de cada departamento

Cada escolha de projetos para um departamento é independente das outras, então o princípio multiplicativo da contagem manda multiplicar os números de possibilidades de cada etapa.

Por que esta fórmula: O total de distribuições é o produto das combinações de cada etapa, pois cada combinação de escolhas gera uma distribuição diferente.

Total=C(7,3)×C(4,2)×C(2,2)Total = C(7{,}3) \times C(4{,}2) \times C(2{,}2)

De onde vem cada valor: C(7,3)C(7{,}3) = passo 1: 35 · C(4,2)C(4{,}2) = passo 2: 6 · C(2,2)C(2{,}2) = passo 3: 1

Total=35×6×1=210Total = 35 \times 6 \times 1 = \boxed{210}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2! no final, tratando os dois departamentos menores como iguais — mas eles são distintos, então não se divide.

Resposta: 210 maneiras — alternativa A

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