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Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — FCC 2025

MatemáticaEquações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
fc149910
Banca
FCC
Órgão
CGE PI
Ano
2025
Cargo
Aud Gov ( )
Duas impressoras são utilizadas para imprimir um grande lote de documentos. A primeira impressora, operando sozinha, leva 2 horas a menos que a segunda impressora para concluir o trabalho. Juntas, as duas impressoras conseguem finalizar o lote em 2 horas e 24 minutos. Com base nessas informações, o tempo que a segunda impressora levaria sozinha para concluir a impressão é
  1. A7 horas e 20 minutos.
  2. B6 horas.
  3. C3 horas.
  4. D4 horas e 30 minutos.
  5. E5 horas.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 6 horas.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 horas — alternativa B.

A ideia por trás

Problemas de trabalho conjunto perguntam quanto tempo duas ou mais máquinas (ou pessoas, ou torneiras) levam para terminar um serviço se trabalharem juntas. A chave é não somar os tempos, mas sim as taxas de trabalho: a fração do serviço que cada uma faz por unidade de tempo. Se uma máquina faz o trabalho todo em t horas, em 1 hora ela faz 1/t do trabalho.

Quando duas máquinas trabalham juntas, a taxa conjunta é a soma das taxas individuais: 1/t1 + 1/t2 = 1/t_total. Essa relação vem do fato de que, em uma hora, a primeira completa uma fração do serviço e a segunda completa outra; juntas, completam a soma dessas frações. Quanto menor o tempo individual, maior a taxa, e quanto menor o tempo conjunto, maior a soma das taxas.

Esta questão pede para descobrir o tempo individual da segunda impressora a partir da diferença de tempos e do tempo conjunto. Vamos montar uma equação com as taxas e resolvê-la como uma equação do segundo grau.

O que a questão dá

  • primeira impressora leva 2 horas a menos que a segunda

  • juntas levam 2 horas e 24 minutos

O que queremos: o tempo que a segunda impressora levaria sozinha

Passo 1 — Converter o tempo conjunto para horas

As taxas de trabalho são calculadas por hora, então precisamos do tempo conjunto em horas. 2 horas e 24 minutos são 2 horas mais 24/60 de hora, que é 0,4 hora.

Por que esta fórmula: Para converter minutos em horas, divide-se por 60, pois 1 hora tem 60 minutos.

ttotal=2+2460t_{total} = 2 + \frac{24}{60}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: 2 horas · 2424 = enunciado: 24 minutos

ttotal=2+0,4=2,4 horast_{total} = 2 + 0{,}4 = \boxed{2{,}4\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter os minutos e usar 2,24 horas no lugar de 2,4.

Passo 2 — Montar a equação das taxas de trabalho

Com o tempo conjunto em horas, podemos igualar a soma das taxas individuais à taxa conjunta. Se a segunda impressora leva x horas, a primeira leva x - 2 horas, pois é 2 horas mais rápida.

Por que esta fórmula: A taxa de trabalho é o inverso do tempo: 1/t. A taxa conjunta é a soma das taxas individuais, então 1/(x-2) + 1/x = 1/2,4.

1x−2+1x=12,4\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2{,}4}

De onde vem cada valor: xx = definição: tempo da segunda impressora (incógnita) · x−2x-2 = enunciado: primeira impressora leva 2 horas a menos que a segunda · 2,42{,}4 = passo 1

1x−2+1x=12,4\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2{,}4}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os tempos diretamente: x + (x-2) = 2,4, o que está errado porque as taxas é que se somam.

Passo 3 — Simplificar a equação

Para resolver a equação, precisamos eliminar as frações. Primeiro, simplificamos 1/2,4 para 5/12, e depois somamos as frações do lado esquerdo usando o denominador comum x(x-2).

Por que esta fórmula: A soma de frações com denominadores diferentes usa o produto dos denominadores como denominador comum. Aqui, o numerador fica x + (x-2) = 2x - 2.

2x−2x(x−2)=512\frac{2x - 2}{x(x-2)} = \frac{5}{12}

De onde vem cada valor: 2x−22x - 2 = definição: soma dos numeradores x e (x-2) · x(x−2)x(x-2) = definição: produto dos denominadores x e (x-2) · 5/125/12 = definição: fração equivalente a 1/2,4

2x−2x2−2x=512\frac{2x - 2}{x^{2} - 2x} = \frac{5}{12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos numeradores: x + (x-2) = 2x - 2, não 2x + 2.

Passo 4 — Multiplicar em cruz e rearranjar

Com uma igualdade entre duas frações, multiplicamos em cruz para obter uma equação sem denominadores. Depois, passamos tudo para um lado para deixar na forma padrão da equação do segundo grau.

Por que esta fórmula: Multiplicar em cruz elimina as frações: 12(2x - 2) = 5(x² - 2x). Expandindo e rearranjando, chegamos a 5x² - 34x + 24 = 0.

5x2−34x+24=05x^{2} - 34x + 24 = 0

De onde vem cada valor: 5x25x^{2} = definição: termo de segundo grau após expandir 5(x² - 2x) · −34x-34x = definição: termo de primeiro grau após combinar -10x e -24x · 2424 = definição: termo constante após rearranjar

12(2x−2)=5(x2−2x)⇒24x−24=5x2−10x⇒5x2−34x+24=012(2x - 2) = 5(x^{2} - 2x) \Rightarrow 24x - 24 = 5x^{2} - 10x \Rightarrow 5x^{2} - 34x + 24 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao rearranjar: 24x - 24 = 5x² - 10x vira 5x² - 34x + 24 = 0, não 5x² - 14x + 24.

Passo 5 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

A equação é do segundo grau, então usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. Primeiro calculamos o discriminante Δ = b² - 4ac.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do tipo ax² + bx + c = 0. Aqui, a = 5, b = -34, c = 24.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 4: coeficiente de x² é 5 · bb = passo 4: coeficiente de x é -34 · cc = passo 4: termo constante é 24

x=34±(−34)2−4⋅5⋅242⋅5=34±1156−48010=34±67610x = \frac{34 \pm \sqrt{(-34)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 24}}{2 \cdot 5} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 480}}{10} = \frac{34 \pm \sqrt{676}}{10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos em b: -(-34) = 34, não -34.

Passo 6 — Calcular as duas raízes

Com o discriminante calculado, extraímos a raiz quadrada e resolvemos as duas possibilidades: uma com mais e outra com menos.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada de 676 é 26, pois 26² = 676. Então x = (34 ± 26)/10.

x1=34+2610,x2=34−2610x_1 = \frac{34 + 26}{10}, \quad x_2 = \frac{34 - 26}{10}

De onde vem cada valor: 3434 = passo 5: -b = 34 · 2626 = passo 5: √676 = 26 · 1010 = passo 5: 2a = 2·5 = 10

x1=6010=6,x2=810=0,8x_1 = \frac{60}{10} = 6, \quad x_2 = \frac{8}{10} = 0{,}8

x = 6 ou x = 0,8

NÃO CAIA NESSA!

Errar a raiz quadrada de 676: é 26, não 24.

Passo 7 — Descartar a raiz impossível

As duas raízes são matematicamente válidas, mas precisam fazer sentido no problema. Se x = 0,8, a primeira impressora levaria x - 2 = -1,2 horas, um tempo negativo, o que é impossível. Portanto, a única resposta possível é x = 6.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma validação lógica: tempos negativos não existem.

x=6 horasx = \boxed{6\ \text{horas}}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar a raiz 0,8 sem verificar que torna o tempo da primeira impressora negativo.

Resposta: 6 horas — alternativa B

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