Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — FCC 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 27 alunos — alternativa C.

A ideia por trás

Quando uma pesquisa pergunta quantas pessoas gostam de cada coisa, os grupos se sobrepõem: quem gosta de chá e leite está contado nos dois. O princípio da inclusão-exclusão é a técnica que conta cada pessoa uma única vez, mesmo quando ela pertence a vários grupos. Ele funciona somando os grupos separados, depois descontando as sobreposições de dois a dois e, por fim, corrigindo a sobreposição tripla.

Para três conjuntos A, B e C, o total de elementos na união é |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|. Cada intersecção dupla é subtraída porque foi contada duas vezes na soma inicial; a intersecção tripla é somada porque, ao subtrair as três duplas, ela foi removida três vezes, mas deveria ser contada apenas uma. O resultado é o número de pessoas que gostam de pelo menos uma das opções.

Esta questão pede o complemento da união: primeiro calculamos quantos gostam de pelo menos uma bebida com a fórmula acima, depois subtraímos do total da turma. O passo crítico é não esquecer de somar a intersecção tripla.

O que a questão dá

• total de alunos = 80

• gostam de chá = 30

• gostam de leite = 35

• gostam de café = 25

• gostam de chá e leite = 15

• gostam de leite e café = 17

• gostam de chá e café = 14

• gostam de chá, leite e café = 9

O que queremos: o número de alunos que não gostam de nenhuma das três bebidas

Passo 1 — Somando os grupos separados

Começamos somando quantos gostam de cada bebida isoladamente. Isso conta cada aluno que gosta de duas ou três bebidas mais de uma vez, mas é o ponto de partida da fórmula de inclusão-exclusão.

Por que esta fórmula: A soma inicial |A| + |B| + |C| é o primeiro termo da fórmula da união; ela reúne todos os que gostam de pelo menos uma bebida, mas com repetições.

De onde vem cada valor: $|A|$ = enunciado: 30 (chá) · $|B|$ = enunciado: 35 (leite) · $|C|$ = enunciado: 25 (café)

Passo 2 — Subtraindo as intersecções duplas

Na soma inicial, quem gosta de chá e leite foi contado duas vezes (uma no grupo chá, outra no leite). Para contar cada pessoa uma única vez, precisamos descontar essas sobreposições duplas.

Por que esta fórmula: A fórmula da união subtrai cada intersecção de dois conjuntos: |A∩B|, |A∩C| e |B∩C|. Isso remove a contagem dupla de quem pertence a dois grupos.

De onde vem cada valor: $|A| + |B| + |C|$ = passo 1: 90 · $|A \cap B|$ = enunciado: 15 (chá e leite) · $|A \cap C|$ = enunciado: 14 (chá e café) · $|B \cap C|$ = enunciado: 17 (leite e café)

Passo 3 — Somando a intersecção tripla

Quem gosta das três bebidas foi contado três vezes na soma inicial e depois subtraído três vezes nas intersecções duplas — ou seja, ficou de fora. Precisamos devolvê-lo uma vez para que ele seja contado exatamente uma vez.

Por que esta fórmula: A fórmula da união soma |A∩B∩C| no final para compensar a subtração excessiva da intersecção tripla.

De onde vem cada valor: $S_{duplas}$ = passo 2: 44 · $|A \cap B \cap C|$ = enunciado: 9 (chá, leite e café)

Passo 4 — Subtraindo do total da turma

A união de 53 é o número de alunos que gostam de pelo menos uma bebida. Como a turma tem 80 alunos, os que não gostam de nenhuma são exatamente os que ficaram de fora dessa união.

Por que esta fórmula: O complemento da união é o total menos a união: |(A∪B∪C)^c| = Total − |A∪B∪C|.

De onde vem cada valor: $Total$ = enunciado: 80 · $|A \cup B \cup C|$ = passo 3: 53

Resposta: 27 alunos — alternativa C