Questão de Matemática — Geometria Analítica — FCC 2025

Geometria Analítica: interseção de retas e distância entre pontos

Gabarito: letra E — a distância entre o ponto de projeto correto e o ponto de fabricação incorreto é $\sqrt{20}$ mm. O caminho é: resolver o sistema linear de cada par de retas para achar os dois pontos de interseção e, em seguida, aplicar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano.

O problema combina dois conceitos centrais da Geometria Analítica: a interseção de retas (que nada mais é que a solução de um sistema linear com as equações das retas) e a distância entre dois pontos no plano. Vamos por partes.

Primeiro, o ponto de projeto correto é a interseção das retas $r_1: 2x - y + 2 = 0$ e $r_2: x + 3y + 1 = 0$. Para encontrá-lo, resolvemos o sistema:

Da primeira equação, isolamos $y = 2x + 2$. Substituindo na segunda: $x + 3(2x + 2) + 1 = 0 \Rightarrow x + 6x + 6 + 1 = 0 \Rightarrow 7x + 7 = 0 \Rightarrow x = -1$. Voltando em $y = 2(-1) + 2 = 0$. Logo, o ponto correto é $P_c = (-1, 0)$.

O ponto de fabricação incorreto é a interseção de $r_1: 2x - y + 2 = 0$ e $r_3: 4x + y - 8 = 0$. Montamos o sistema:

Isolando $y = 2x + 2$ da primeira e substituindo na segunda: $4x + (2x + 2) - 8 = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$. Então $y = 2(1) + 2 = 4$. O ponto incorreto é $P_i = (1, 4)$.

Agora, a distância entre $P_c = (-1, 0)$ e $P_i = (1, 4)$ é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

A pegadinha clássica aqui é o candidato se perder na resolução dos sistemas ou errar o sinal ao aplicar a fórmula da distância. Outro erro comum é, após achar os pontos, calcular a distância de um deles à origem ou entre as retas, em vez de entre os dois pontos. A banca também explora a pressa: quem resolve apenas um sistema e acha um ponto, pode marcar uma alternativa que corresponde à distância desse ponto a outro lugar, como a origem.

Guarde o roteiro: achar os dois pontos de interseção → aplicar a fórmula da distância. É exatamente isso que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\sqrt{12}$ não corresponde a nenhuma distância relevante do problema. Esse valor surgiria, por exemplo, se o candidato calculasse a distância entre o ponto correto $(-1, 0)$ e um ponto incorreto diferente, ou se errasse a resolução de um dos sistemas. Não há, nos cálculos corretos, nenhuma etapa que produza $\sqrt{12}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\sqrt{15}$ também não é resultado de nenhuma etapa correta. É um distrator numérico: quem erra a resolução de um dos sistemas (por exemplo, trocando um sinal) pode chegar a um ponto cuja distância ao outro seja $\sqrt{15}$. Não corresponde a nenhum valor do desenvolvimento correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{14}$ é outro distrator. Se o candidato, ao resolver o sistema, encontrasse pontos como $(-1, 0)$ e $(2, 3)$, a distância seria $\sqrt{18}$, não $\sqrt{14}$. Valores como $\sqrt{14}$ aparecem quando há erro de sinal na fórmula da distância ou na resolução das equações. Não há passagem correta que leve a $\sqrt{14}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

5,25 é um número decimal que não tem relação com o resultado. Ele poderia surgir de uma divisão mal feita durante a resolução do sistema, como $21/4$, mas não é a distância pedida. A distância correta é um radical ($\sqrt{20}$), não um decimal exato. A banca inclui esse valor para capturar quem erra a conta e obtém um quociente.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A distância entre o ponto de projeto correto $P_c = (-1, 0)$ e o ponto de fabricação incorreto $P_i = (1, 4)$ é:

Portanto, a alternativa E é a correta.

Gabarito: letra E