Questão de Matemática — Transformadas e séries — FCC 2025

Séries alternadas e a série harmônica alternada

Gabarito: letra D. A série converge e sua soma é $\ln \tfrac{9}{8}$, pois ela se decompõe na diferença de duas séries geométricas convergentes, cujas somas são calculadas pela fórmula da série geométrica $\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$ para $|r|<1$.

A questão mistura dois conceitos que parecem próximos, mas são distintos: a série harmônica alternada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$ e a série geométrica $\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$. A armadilha está em reconhecer que, embora o termo geral tenha o fator $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$, a presença das potências $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ e $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ faz com que a série seja, na verdade, uma combinação de séries geométricas — e não a série harmônica alternada clássica.

Vamos decompor o termo geral:

Aqui está o ponto crucial: o fator $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ multiplica as potências, mas isso não transforma a série em harmônica alternada. Para ver isso, reescrevemos:

Essa série não é a harmônica alternada, pois o denominador cresce exponencialmente ($n \cdot 2^n$), o que garante convergência absoluta. O mesmo vale para o termo com $\frac{1}{3^n}$.

Na verdade, a série dada pode ser reescrita de forma mais simples. Observe que:

Mas essa não é a abordagem mais direta. A chave é notar que a série se parece com a expansão em série de $\ln(1+x)$:

Comparando com o termo geral da nossa série, vemos que:

Isso é exatamente:

Portanto, a série converge e sua soma é $\ln \tfrac{9}{8}$.

A pegadinha da banca é dupla: primeiro, o candidato pode confundir com a série harmônica alternada e achar que a soma é $\ln 2$; segundo, pode tentar aplicar diretamente o teste da razão ou da raiz sem perceber a estrutura de série de potências. A presença do fator $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ é um chamariz para a série harmônica alternada, mas as potências $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ e $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ mudam completamente o jogo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a série é convergente, mas que não é possível determinar sua soma. Isso é falso: a série é convergente e sua soma pode ser calculada exatamente, como mostramos acima, resultando em $\ln \tfrac{9}{8}$. A banca tenta explorar o candidato que reconhece a convergência (talvez pelo teste de Leibniz) mas não enxerga a estrutura de série de potências que permite o cálculo da soma.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a série é divergente. Isso é um erro grave. A série é absolutamente convergente, pois $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n} \left[\left(\frac{1}{2}\right)^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right]\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n}\right) < \infty$. O termo geral tende a zero e a série converge absolutamente, logo não pode ser divergente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a série converge e tem soma 1. O valor 1 não corresponde à soma correta. A soma é $\ln \tfrac{9}{8} \approx 0,1173$, que é bem menor que 1. O candidato que chega a 1 provavelmente cometeu um erro de cálculo, talvez confundindo a soma de séries geométricas com a soma de uma série telescópica ou aplicando incorretamente a fórmula da série geométrica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa correta. A série converge e sua soma é $\ln \tfrac{9}{8}$, como demonstrado na introdução. A decomposição em duas séries de potências do tipo $\ln(1+x)$ com $x = \frac{1}{2}$ e $x = \frac{1}{3}$ é a chave para o cálculo exato da soma.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a série converge e tem soma $\text{arctg} \tfrac{5}{6}$. Isso é um distrator que mistura a série do arco tangente, $\arctg(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$, com a série dada. A presença do fator $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ e das potências $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ e $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ não se encaixa na forma da série do arco tangente, que tem expoentes ímpares e denominadores ímpares. Portanto, essa alternativa é claramente incorreta.

Gabarito: letra D