Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — FCC 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 12 sócios — alternativa A.

A ideia por trás

Quando uma questão fala de grupos que podem se sobrepor, usamos conjuntos: cada esporte é um conjunto, e as pessoas podem pertencer a um, dois ou três deles. O diagrama de Venn é o desenho que separa cada combinação possível em uma região própria, e a cardinalidade é simplesmente quantas pessoas estão em cada região. Somar todas as regiões tem que dar o total de pessoas do grupo.

A relação central é que a soma das cardinalidades de todas as regiões disjuntas do diagrama é igual ao total de elementos da união. Quando um conjunto está contido em outro, algumas regiões ficam vazias — por exemplo, se todo tenista é jogador de futebol, não existe ninguém que pratique apenas tênis. Isso reduz o número de incógnitas e permite montar uma equação com uma única variável.

Esta questão cobra exatamente essa simplificação: a informação 'todo tenista é jogador de futebol' elimina duas regiões do diagrama, e a relação 'apenas futebol é o dobro de apenas natação' permite escrever tudo em função de uma incógnita. O passo a passo é montar a equação da soma e resolvê-la.

O que a questão dá

• total de sócios = 60

• todos praticam pelo menos um dos três esportes

• todo sócio que pratica tênis também pratica futebol

• apenas futebol = 2 × apenas natação

• futebol e natação, mas não tênis = 12

• os três esportes = 15

• apenas futebol e tênis = 15

O que queremos: o número de sócios que praticam apenas futebol

Passo 1 — Desenhar o diagrama de Venn com as regiões

Antes de somar, precisamos visualizar todas as combinações possíveis de esportes. Como todo tenista também joga futebol, o conjunto T está dentro do F, então as regiões 'apenas tênis' e 'tênis com natação sem futebol' não existem — ficam vazias. Isso reduz o diagrama a cinco regiões com gente.

Passo 2 — Chamar de x o número de apenas natação

A relação 'apenas futebol é o dobro de apenas natação' permite escrever as duas regiões com uma única letra. Escolhemos x para apenas natação, então apenas futebol vira 2x. Isso transforma o problema em uma equação de primeiro grau.

Passo 3 — Preencher as regiões com os valores dados

O enunciado já dá três quantidades diretamente: 12 na região futebol+natação sem tênis, 15 na região dos três esportes e 15 na região futebol+tênis sem natação. Colocá-las no diagrama deixa claro o que falta somar.

Passo 4 — Montar a equação da soma das regiões

Como todos os 60 sócios praticam pelo menos um esporte, a soma de todas as regiões com gente tem que ser exatamente 60. Essa é a equação que vai revelar o valor de x.

Por que esta fórmula: A soma das cardinalidades das regiões disjuntas é igual ao total da união. Aqui, as regiões são: apenas futebol (2x), apenas natação (x), futebol+natação sem tênis (12), futebol+tênis sem natação (15) e os três (15). As outras duas são zero.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 2: apenas futebol · $x$ = passo 2: apenas natação · $12$ = enunciado: futebol e natação, mas não tênis · $15$ = enunciado: apenas futebol e tênis · $60$ = enunciado: total de sócios

Passo 5 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo anterior tem uma única incógnita; resolvê-la dá o número de apenas natação. Depois, o dobro disso será a resposta.

Por que esta fórmula: É uma equação linear simples: somamos os termos com x e os números, isolamos x dividindo pelo coeficiente.

De onde vem cada valor: $3x$ = passo 4: 2x + x · $42$ = passo 4: 12 + 15 + 15 · $60$ = passo 4: total

Passo 6 — Calcular o dobro de x para apenas futebol

A pergunta é sobre apenas futebol, que é o dobro de apenas natação. Como já temos x = 6, basta multiplicar por 2.

Por que esta fórmula: A relação do enunciado: apenas futebol = 2 × apenas natação.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 5: 6

Resposta: 12 sócios — alternativa A